La dimension infinie en défaut

Exercice classique · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PC), chapitre 5 — Espaces Vectoriels Normés et Topologie · Niveau ★★★ — approfondissement

Énoncé

Sur $E = R [X]$ muni de $∥ P ∥_{\infty} = sup_{[0, 1]} ∣ P ∣$ , montrer que la dérivation $D : P \mapsto P^{'}$ est linéaire mais non continue.

Corrigé

$D$ est linéaire (première année). Pour montrer qu'elle n'est pas continue, on applique la caractérisation séquentielle de la continuité en $0$ , avec la suite $P_{n} = \frac{X ^{n}}{n}$ ( $n \geq 1$ ) : $∥ P_{n} ∥_{\infty} = t \in [0, 1] sup \frac{t ^{n}}{n} = \frac{1}{n} ⟶ 0, mais ∥ D (P_{n}) ∥_{\infty} = t \in [0, 1] sup t^{n - 1} = 1.$ La suite $(P_{n})$ tend vers le polynôme nul, et la suite $(D (P_{n}))$ ne tend pas vers $D (0) = 0$ : $D$ n'est pas continue en $0$ , donc elle n'est pas continue.

(Contraste avec la dimension finie, où toute application linéaire est continue : en dimension infinie, la continuité d'une application linéaire dépend des normes choisies.)

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