Le maximum des lignes : une norme sur les matrices, et la convergence de $A^p$

Stratégie. Une majoration ligne par ligne, puis les propriétés de norme, puis une récurrence sur les puissances. On établit une inégalité, et l'on s'en sert.

a) L'inégalité de continuité. Soit $x\in {\mathbb{R}}^n$. La $i$-ième coordonnée de $Ax$ vérifie $$|(Ax{)}_i|\le \sum _{j=1}^n|a_{i,j}||x_j|\le (\sum _{j=1}^n|a_{i,j}|)\Vert x{\Vert }_{\infty }\le L(A)\Vert x{\Vert }_{\infty }.$$ En prenant le maximum sur $i$ : $\Vert Ax{\Vert }_{\infty }\le L(A)\Vert x{\Vert }_{\infty }$. Par linéarité, $\Vert Ax-Ay{\Vert }_{\infty }=\Vert A(x-y){\Vert }_{\infty }\le L(A)\Vert x-y{\Vert }_{\infty }$ : $x\mapsto Ax$ est $L(A)$-lipschitzienne.

b) $L$ est une norme sous-multiplicative. Séparation : $L(A)=0$ impose $a_{i,j}=0$ pour tous $i,j$. Homogénéité : $L(\lambda A)=|\lambda |L(A)$. Inégalité triangulaire : pour chaque $i$, ${\sum }_j|a_{i,j}+b_{i,j}|\le {\sum }_j|a_{i,j}|+{\sum }_j|b_{i,j}|\le L(A)+L(B)$, et l'on prend le maximum sur $i$. Sous-multiplicativité : pour chaque $i$, $$\sum _j|(AB{)}_{i,j}|\le \sum _j\sum _k|a_{i,k}||b_{k,j}|=\sum _k|a_{i,k}|\sum _j|b_{k,j}|\le L(A)L(B).$$

c) Si $L(A)<1$. Par récurrence, $L(A^p)\le L(A{)}^p\to 0$ : la suite $(A^p)$ tend vers la matrice nulle pour la norme $L$, donc pour toute norme de ${\mathcal{M}}_n(\mathbb{R})$, espace de dimension finie. $I_n-A$ est inversible : si $(I_n-A)x=0$ avec $x\ne 0$, alors $Ax=x$, donc $A^{p}x=x$ pour tout $p$, alors que $\Vert A^{p}x{\Vert }_{\infty }\le L(A{)}^p\Vert x{\Vert }_{\infty }\to 0$ — contradiction. Les sommes $S_p=I_n+A+\cdots +A^p$ vérifient $(I_n-A)S_p=I_n-A^{p+1}$ par télescopage, donc $S_p=(I_n-A{)}^{-1}(I_n-A^{p+1})\to (I_n-A{)}^{-1}$, l'application $M\mapsto (I_n-A{)}^{-1}M$ étant linéaire, donc continue.

Contrôle. Pour $A=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ 3& 4\end{array}\right)$, les totaux des lignes sont $1+2=3$ et $3+4=7$ : $L(A)=7$ ; avec $x=(1,-1)$, $Ax=(3,-1)$ et $\Vert Ax{\Vert }_{\infty }=3\le 7=L(A)\Vert x{\Vert }_{\infty }$. Pour $A=\frac{1}{4}\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ -1& 1\end{array}\right)$, $L(A)=\frac{3}{4}<1$, et les sommes $S_p$ tendent vers $(I_2-A{)}^{-1}=\frac{1}{11}\left(\begin{array}{cc}12& 8\\ -4& 12\end{array}\right)$.

Ce que l'exercice installe. Une inégalité de continuité explicite pour $x\mapsto Ax$, une norme commode sur les matrices, et le critère $L(A)<1$, qui garantit $A^p\to 0$ : c'est lui qui assure la convergence des méthodes itératives de résolution des systèmes linéaires, comme la méthode de Jacobi quand la diagonale domine chaque ligne.