Le parallélogramme décide : le théorème de Jordan–von Neumann

Soit $(E,\Vert \cdot \Vert )$ un $\mathbb{R}$-espace vectoriel normé. On pose, pour $x,y\in E$, $$\phi (x,y)=\frac{1}{4}(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2).$$

a) On suppose que la norme provient d'un produit scalaire $⟨\cdot ,\cdot ⟩$, c'est-à-dire que $\Vert x{\Vert }^2=⟨x,x⟩$ pour tout $x$. Montrer qu'elle vérifie l'identité du parallélogramme $$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2=2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2,$$ et que $\phi =⟨\cdot ,\cdot ⟩$.

b) Montrer que $\Vert \cdot {\Vert }_1$ et $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ sur ${\mathbb{R}}^2$, ainsi que $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ sur $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$, ne proviennent d'aucun produit scalaire.

c) On suppose désormais que $\Vert \cdot \Vert$ vérifie l'identité du parallélogramme. Montrer que $\phi$ est symétrique, que $\phi (x,x)=\Vert x{\Vert }^2$, que $\phi (0,y)=0$ et que $\phi (-x,y)=-\phi (x,y)$.

d) En appliquant l'identité du parallélogramme aux couples $(x+y,x^{\prime })$ et $(x-y,x^{\prime })$, montrer que $\phi (x+x^{\prime },y)+\phi (x-x^{\prime },y)=2\phi (x,y)$. En déduire $\phi (2x,y)=2\phi (x,y)$, puis, avec $x=\frac{u+v}{2}$ et $x^{\prime }=\frac{u-v}{2}$, l'additivité : $\phi (u+v,y)=\phi (u,y)+\phi (v,y)$.

e) En déduire que $\phi (rx,y)=r\phi (x,y)$ pour tout rationnel $r$, puis pour tout réel $r$. Conclure : $\phi$ est un produit scalaire, dont $\Vert \cdot \Vert$ est la norme associée.