Le parallélogramme décide : le théorème de Jordan–von Neumann

La stratégie. Le sens direct est un développement. La réciproque reconstruit un produit scalaire à partir de la seule norme : le a) montre que la polarisation $\phi$ est le seul candidat, et il reste à prouver qu'elle est bilinéaire. Le parallélogramme donne l'additivité, l'additivité la linéarité sur les rationnels, et c'est la continuité de la norme, avec la densité de $\mathbb{Q}$, qui achève.

a) Le sens direct. Par bilinéarité et symétrie, $$\Vert x\pm y{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2\pm 2⟨x,y⟩+\Vert y{\Vert }^2.$$ En additionnant les deux égalités, les termes croisés s'éliminent : c'est l'identité du parallélogramme. En soustrayant, $\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2=4⟨x,y⟩$, soit $\phi =⟨\cdot ,\cdot ⟩$ : le produit scalaire se lit dans la norme, et il n'y en a qu'un possible.

b) Trois normes qui ne sont pas euclidiennes. Un couple qui met l'identité en défaut suffit. Dans ${\mathbb{R}}^2$, avec $x=(1,0)$ et $y=(0,1)$, donc $x+y=(1,1)$ et $x-y=(1,-1)$ :

norme	$\Vert x+y{\Vert }^2+\Vert x-y{\Vert }^2$	$2\Vert x{\Vert }^2+2\Vert y{\Vert }^2$	verdict
$\Vert \cdot {\Vert }_1$	$4+4=8$	$2+2=4$	pas euclidienne
$\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$	$1+1=2$	$2+2=4$	pas euclidienne
$\Vert \cdot {\Vert }_2$	$2+2=4$	$2+2=4$	égalité

Dans $\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$ muni de $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\sup }_{[0,1]}|f|$, avec $f=1$ et $g:t\mapsto t$ : $f+g$ a pour borne supérieure $2$ (en $t=1$), $f-g$ a pour borne supérieure $1$ (en $t=0$), et $$\Vert f+g{\Vert }_{\infty }^2+\Vert f-g{\Vert }_{\infty }^2=4+1=5\ne 4=2\Vert f{\Vert }_{\infty }^2+2\Vert g{\Vert }_{\infty }^2.$$ L'identité dit que la somme des carrés des diagonales d'un parallélogramme égale la somme des carrés de ses quatre côtés ; pour la norme $1$, les diagonales sont trop longues, pour la norme infinie trop courtes.

c) Les propriétés immédiates. L'homogénéité donne $\Vert y-x\Vert =\Vert x-y\Vert$, d'où la symétrie ; puis $\phi (x,x)=\frac{1}{4}\Vert 2x{\Vert }^2=\Vert x{\Vert }^2$ ; $\phi (0,y)=\frac{1}{4}(\Vert y{\Vert }^2-\Vert -y{\Vert }^2)=0$ ; et $\phi (-x,y)=\frac{1}{4}(\Vert x-y{\Vert }^2-\Vert x+y{\Vert }^2)=-\phi (x,y)$.

d) L'additivité — le seul endroit où le parallélogramme sert. En regroupant les normes deux à deux : $$4(\phi (x+x^{\prime },y)+\phi (x-x^{\prime },y))=(\Vert (x+y)+x^{\prime }{\Vert }^2+\Vert (x+y)-x^{\prime }{\Vert }^2)-(\Vert (x-y)+x^{\prime }{\Vert }^2+\Vert (x-y)-x^{\prime }{\Vert }^2).$$ Le parallélogramme appliqué au couple $(x+y,x^{\prime })$ change la première parenthèse en $2\Vert x+y{\Vert }^2+2\Vert x^{\prime }{\Vert }^2$, appliqué au couple $(x-y,x^{\prime })$ la seconde en $2\Vert x-y{\Vert }^2+2\Vert x^{\prime }{\Vert }^2$. Les termes en $\Vert x^{\prime }{\Vert }^2$ disparaissent : $$4(\phi (x+x^{\prime },y)+\phi (x-x^{\prime },y))=2(\Vert x+y{\Vert }^2-\Vert x-y{\Vert }^2)=8\phi (x,y).$$ Le doublement : avec $x^{\prime }=x$, et $\phi (0,y)=0$, on obtient $\phi (2x,y)=2\phi (x,y)$. L'additivité : avec $x=\frac{u+v}{2}$ et $x^{\prime }=\frac{u-v}{2}$, donc $x+x^{\prime }=u$ et $x-x^{\prime }=v$, $$\phi (u,y)+\phi (v,y)=2\phi \left(\frac{u+v}{2},y\right)=\phi (u+v,y),$$ par le doublement appliqué à $\frac{u+v}{2}$. Par symétrie, l'additivité vaut aussi en la seconde variable.

e) De l'additivité à la linéarité. Les entiers : par récurrence, $\phi (0,y)=0$ et $\phi ((m+1)x,y)=\phi (mx,y)+\phi (x,y)$ donnent $\phi (mx,y)=m\phi (x,y)$ pour $m\in \mathbb{N}$ ; le c) l'étend aux entiers négatifs. Les rationnels : pour $r=\frac{p}{q}$ avec $p\in \mathbb{Z}$, $q\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, le cas entier donne $q\phi (rx,y)=\phi (px,y)=p\phi (x,y)$. Les réels : soit $\lambda \in \mathbb{R}$ et $(r_k)$ une suite de rationnels de limite $\lambda$ (densité de $\mathbb{Q}$ dans $\mathbb{R}$). La fonction $g:t\mapsto \phi (tx,y)$ est continue : $t\mapsto tx\pm y$ est lipschitzienne de $\mathbb{R}$ dans $E$, puisque $\Vert (tx\pm y)-(sx\pm y)\Vert =|t-s|\Vert x\Vert$, la norme est $1$-lipschitzienne (cours), et le carré est continu. Donc $g(r_k)\to g(\lambda )$, tandis que $g(r_k)=r_k\phi (x,y)\to \lambda \phi (x,y)$ : par unicité de la limite, $\phi (\lambda x,y)=\lambda \phi (x,y)$.

Conclusion. $\phi$ est linéaire en la première variable et symétrique, donc bilinéaire ; $\phi (x,x)=\Vert x{\Vert }^2$ est positif, nul si et seulement si $x=0$. $\phi$ est un produit scalaire de norme associée $\Vert \cdot \Vert$ — c'est le théorème de Jordan–von Neumann : une norme provient d'un produit scalaire si et seulement si elle vérifie l'identité du parallélogramme, et ce produit scalaire est donné par la polarisation.

Le point délicat. L'additivité seule ne donne que la linéarité sur $\mathbb{Q}$ ; le passage à $\mathbb{R}$ est topologique — densité et continuité —, exactement comme pour l'équation fonctionnelle $f(x+y)=f(x)+f(y)$ de la première année.

Ce que l'exercice installe. Les normes euclidiennes se reconnaissent à une identité portant sur la seule norme ; seules elles donnent des angles et des projections orthogonales. La polarisation reconstruit la forme bilinéaire à partir de la forme quadratique. En physique, c'est la lecture des interférences : l'intensité d'une superposition de deux ondes est proportionnelle à $\Vert E_1+E_2{\Vert }^2=\Vert E_1{\Vert }^2+\Vert E_2{\Vert }^2+2⟨E_1,E_2⟩$, et le terme d'interférences est le produit scalaire que la polarisation extrait des intensités.