Le point fixe de Picard

La stratégie. Pour montrer qu'une suite converge sans connaître sa limite, on l'écrit comme somme de ses accroissements, $x_p=x_0+{\sum }_{q<p}(x_{q+1}-x_q)$, et l'on montre que la série des accroissements converge : c'est le lien suite-série de la première année, coordonnée par coordonnée. La contraction majore les accroissements par une suite géométrique ; la fermeture de $F$ y garde la limite.

a) L'unicité. Si $f(a)=a$ et $f(b)=b$, alors $\Vert a-b\Vert =\Vert f(a)-f(b)\Vert \le k\Vert a-b\Vert$, soit $(1-k)\Vert a-b\Vert \le 0$ : comme $1-k>0$, $a=b$.

b) L'existence. La suite est bien définie, $f$ envoyant $F$ dans $F$. La majoration géométrique, par récurrence : vraie pour $p=0$, et si elle l'est au rang $p$, $$\Vert x_{p+2}-x_{p+1}\Vert =\Vert f(x_{p+1})-f(x_p)\Vert \le k\Vert x_{p+1}-x_p\Vert \le k^{p+1}\Vert x_1-x_0\Vert .$$ Coordonnée par coordonnée. Les normes de ${\mathbb{R}}^n$ sont équivalentes : il existe $\alpha >0$ tel que $\Vert y{\Vert }_{\infty }\le \alpha \Vert y\Vert$ pour tout $y$. Donc $|(x_{p+1}-x_p{)}_i|\le \alpha k^p\Vert x_1-x_0\Vert$, terme général d'une série géométrique convergente : la série réelle ${\sum }_p(x_{p+1}-x_p{)}_i$ converge absolument, donc converge, et par le lien suite-série la suite $((x_p{)}_i{)}_p$ converge. Toutes les coordonnées convergent : en dimension finie, $(x_p)$ converge vers un vecteur $\ell$ (cours).

La limite est un point fixe de $F$. Les $x_p$ sont dans le fermé $F$ : par la caractérisation séquentielle, $\ell \in F$. $f$, lipschitzienne, est continue : $f(x_p)\to f(\ell )$ ; mais $f(x_p)=x_{p+1}\to \ell$. Par unicité de la limite, $f(\ell )=\ell$.

c) La vitesse. Pour $q>p$, par l'inégalité triangulaire et le b), $$\Vert x_q-x_p\Vert \le \sum _{j=p}^{q-1}{k}^j\Vert x_1-x_0\Vert \le \frac{k^p}{1-k}\Vert x_1-x_0\Vert .$$ À $p$ fixé, quand $q\to +\infty$, la continuité de la norme donne $\Vert \ell -x_p\Vert \le \frac{k^p}{1-k}\Vert x_1-x_0\Vert$ : la convergence est géométrique, avec une erreur majorée dès le premier pas.

d) L'équation de Kepler. On cherche les points fixes de $g:E\mapsto M+e\sin E$, de $\mathbb{R}$ — fermé non vide — dans $\mathbb{R}$. Par l'inégalité des accroissements finis ($|\cos |\le 1$), $|g(E)-g(E^{\prime })|\le e|E-E^{\prime }|$ : $g$ est $e$-lipschitzienne avec $e<1$. L'équation $E-e\sin E=M$ a une unique solution réelle.

Le nombre d'itérations. Pour $e=\frac{1}{2}$, $M=1$, $E_0=1$ : $E_1=1+\frac{1}{2}\sin 1\approx 1,420735$, et le c) garantit $$|E_p-E^{\ast }|\le \frac{(1/2{)}^p}{1/2}\times 0,420735=0,841471\times 2^{-p},$$ inférieur à $10^{-6}$ dès que $2^p\ge 841471$ : à partir de $p=20$ ($2^{19}=524288$ ne suffit pas, $2^{20}=1048576$ suffit).

Contrôle. La solution vaut $E^{\ast }\approx 1,4987011$, et les erreurs des itérés successifs sont environ $7,8\times 10^{-2}$, $4,3\times 10^{-3}$, $1,6\times 10^{-4}$, $5,8\times 10^{-6}$, puis $2,1\times 10^{-7}$ : cinq itérations suffisent en pratique. La constante $\frac{1}{2}$ est la pire sur tout $\mathbb{R}$ ; près de la solution, le rapport utile est $e|\cos E^{\ast }|\approx 0,036$, et l'erreur est en effet divisée par environ $28$ à chaque pas.

Le point délicat. La fermeture de $F$ n'est pas décorative : sur $F=]0,1]$, $x\mapsto \frac{x}{2}$ est $\frac{1}{2}$-lipschitzienne de $F$ dans $F$, ses itérés tendent vers $0\notin F$, et elle n'a aucun point fixe dans $F$.

Ce que l'exercice installe. Le lien suite-série prouve une convergence sans connaître la limite : on majore les accroissements par une série convergente ; la contraction en est le cas géométrique, avec une estimation d'erreur explicite. En physique, l'équation de Kepler donne la position d'une planète sur son orbite elliptique à un instant donné — $M$ est proportionnel au temps, $e$ est l'excentricité — ; elle n'a pas de solution explicite, et c'est par cette itération qu'on la résout. Toutes les méthodes itératives de résolution d'équations reposent sur ce principe.