mathématiques (PC) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Le théorème de d'Alembert–Gauss, par les bornes atteintes

Espaces Vectoriels Normés et Topologie · E. Parties fermées bornées et bornes atteintes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

On identifie $C$ à $R^{2}$ , normé par le module. Soit $P = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} X^{k} \in C [X]$ de degré $n \geq 1$ , de sorte que $a_{n} \neq = 0$ .

1) Montrer qu'il existe $R > 0$ tel que, pour tout $z \in C$ vérifiant $∣ z ∣ \geq R$ , $∣ P (z) ∣ \geq \frac{∣ a _{n} ∣}{2} ∣ z ∣^{n} .$

2) Soit $m = in f_{z \in C} ∣ P (z) ∣$ . Montrer qu'il existe $R^{'} \geq R$ tel que $∣ P (z) ∣ > ∣ P (0) ∣$ pour $∣ z ∣ \geq R^{'}$ , puis, en appliquant le théorème des bornes atteintes à $∣ P ∣$ sur le disque fermé $D (0, R^{'})$ , qu'il existe $z_{0} \in C$ tel que $∣ P (z_{0}) ∣ = m$ .

3) On suppose $P (z_{0}) \neq = 0$ . Justifier l'écriture $P (z_{0} + h) = P (z_{0}) + b_{k} h^{k} + h^{k + 1} Q (h) pour tout h \in C,$ avec $1 \leq k \leq n$ , $b_{k} \neq = 0$ et $Q$ un polynôme, et justifier l'existence de $ω \in C$ tel que $ω^{k} = - \frac{P ( z _{0} )}{b _{k}}$ .

4) Lemme de d'Alembert. Avec les notations du 3), montrer que $∣ P (z_{0} + t ω) ∣ < ∣ P (z_{0}) ∣$ pour tout réel $t > 0$ assez petit.

5) En déduire que $P (z_{0}) = 0$ , puis que tout polynôme non constant de $C [X]$ est scindé sur $C$ .

6) En déduire que toute matrice de $M_{n} (C)$ admet une valeur propre, et que tout polynôme réel non constant est produit de polynômes réels de degré $1$ et de polynômes réels de degré $2$ à discriminant strictement négatif. Énoncer le théorème obtenu.

Corrigé de la question 1

Le plan. Le théorème est un énoncé d'existence, et la démonstration n'en calcule rien : $∣ P ∣$ atteint son minimum sur $C$ (questions 1 et 2) ; en un point où $P$ ne s'annule pas, on peut encore faire décroître $∣ P ∣$ (questions 3 et 4) ; un minimum ne pouvant être amélioré, il est nul (question 5). La difficulté du 2) est que $C$ n'est pas borné : on s'y ramène en montrant que $∣ P ∣$ est grand loin de l'origine — c'est la coercivité.

1) La coercivité. Pour $z \neq = 0$ , factorisons le terme dominant : $P (z) = a_{n} z^{n} (1 + k = 0 \sum n - 1 \frac{a _{k}}{a _{n}} z^{k - n}) .$ Soit $S = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{∣ a _{k} ∣}{∣ a _{n} ∣}$ . Pour $∣ z ∣ \geq 1$ et $k \leq n - 1$ , $∣ z ∣^{k - n} \leq ∣ z ∣^{- 1}$ , donc la somme entre parenthèses est de module au plus $\frac{S}{∣ z ∣}$ . Prenons $R = max (1, 2 S)$ : pour $∣ z ∣ \geq R$ , ce majorant est au plus $\frac{1}{2}$ , et la seconde inégalité triangulaire donne $1 + \sum_{k} \frac{a _{k}}{a _{n}} z^{k - n} \geq \frac{1}{2}$ , d'où $∣ P (z) ∣ \geq \frac{∣ a _{n} ∣}{2} ∣ z ∣^{n}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

J'applique le théorème des bornes atteintes à $∣ P ∣$ sur un disque fermé : le minimum y est atteint en un point $z_{0}$ . Mais rien ne dit que c'est le minimum sur $C$ tout entier.

C'est le cœur de la question. Il faut choisir le disque pour que $∣ P ∣$ soit grand à l'extérieur : grand par rapport à quelle valeur, prise par $∣ P ∣$ à l'intérieur du disque ?

Élève

Par rapport à $∣ P (0) ∣$ , puisque $0$ est toujours dans le disque. Et le 1) donne $∣ P (z) ∣ \geq \frac{∣ a _{n} ∣}{2} ∣ z ∣^{n}$ , qui tend vers $+ \infty$ .

Comment choisis-tu concrètement $R^{'}$ pour garantir $∣ P (z) ∣ > ∣ P (0) ∣$ dès que $∣ z ∣ \geq R^{'}$ ? Ensuite, comment compares-tu $∣ P (z_{0}) ∣$ à $∣ P (z) ∣$ pour un $z$ hors du disque ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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