Le théorème de d'Alembert–Gauss, par les bornes atteintes

Le plan. Le théorème est un énoncé d'existence, et la démonstration n'en calcule rien : $|P|$ atteint son minimum sur $\mathbb{C}$ (questions 1 et 2) ; en un point où $P$ ne s'annule pas, on peut encore faire décroître $|P|$ (questions 3 et 4) ; un minimum ne pouvant être amélioré, il est nul (question 5). La difficulté du 2) est que $\mathbb{C}$ n'est pas borné : on s'y ramène en montrant que $|P|$ est grand loin de l'origine — c'est la coercivité.

1) La coercivité. Pour $z\ne 0$, factorisons le terme dominant : $$P(z)=a_n{z}^n(1+\sum _{k=0}^{n-1}\frac{a_k}{a_n}{z}^{k-n}).$$ Soit $S={\sum }_{k=0}^{n-1}\frac{|a_k|}{|a_n|}$. Pour $|z|\ge 1$ et $k\le n-1$, $|z{|}^{k-n}\le |z{|}^{-1}$, donc la somme entre parenthèses est de module au plus $\frac{S}{|z|}$. Prenons $R=\max (1,2S)$ : pour $|z|\ge R$, ce majorant est au plus $\frac{1}{2}$, et la seconde inégalité triangulaire donne $|1+{\sum }_k\frac{a_k}{a_n}{z}^{k-n}|\ge \frac{1}{2}$, d'où $|P(z)|\ge \frac{|a_n|}{2}|z{|}^n$.

2) Le minimum existe. La borne inférieure $m$ existe, $|P|$ étant minoré par $0$. Comme $|z{|}^n\to +\infty$, on peut choisir $R^{\prime }\ge R$ tel que $\frac{|a_n|}{2}{R}^{\prime n}>|P(0)|$, par exemple $R^{\prime }=\max (R,(\frac{2(|P(0)|+1)}{|a_n|}{)}^{1/n})$ ; pour $|z|\ge R^{\prime }$, le 1) donne $|P(z)|\ge \frac{|a_n|}{2}{R}^{\prime n}>|P(0)|$.

Le disque fermé $\overline{D}(0,R^{\prime })$ est une partie non vide, fermée et bornée de ${\mathbb{R}}^2$, de dimension finie ; $z\mapsto |P(z)|$ y est continue (les parties réelle et imaginaire de $P(z)$ sont polynomiales en les coordonnées de $z$, et le module est continu). Par le théorème des bornes atteintes, il existe $z_0$ dans le disque tel que $|P(z_0)|\le |P(z)|$ pour tout $z$ du disque ; en particulier $|P(z_0)|\le |P(0)|$. Hors du disque, $|P(z)|>|P(0)|\ge |P(z_0)|$. Donc $|P(z_0)|\le |P(z)|$ pour tout $z\in \mathbb{C}$ : $|P(z_0)|=m$.

Le point délicat. Le théorème exige une partie bornée, et $\mathbb{C}$ ne l'est pas : hors d'un disque assez grand, $|P|$ dépasse la valeur $|P(0)|$ qu'il prend au centre, si bien que le minimum sur le disque est le minimum sur $\mathbb{C}$.

3) Le développement au voisinage de $z_0$. En développant chaque $(z_0+h{)}^j$ par la formule du binôme et en regroupant, $P(z_0+h)={\sum }_{j=0}^n{b}_j{h}^j$, avec $b_0=P(z_0)$ et $b_n=a_n\ne 0$. Soit $k$ le plus petit indice $j\ge 1$ tel que $b_j\ne 0$ ; il existe, puisque $b_n\ne 0$, et $1\le k\le n$. Alors $$P(z_0+h)=P(z_0)+b_k{h}^k+h^{k+1}Q(h),Q(h)=\sum _{j=k+1}^n{b}_j{h}^{j-k-1},$$ avec $Q=0$ si $k=n$. La racine $k$-ième : $c=-\frac{P(z_0)}{b_k}$ est non nul ; si $c=\rho e^{i\theta }$ avec $\rho >0$, le nombre $\omega ={\rho }^{1/k}{e}^{i\theta /k}$ vérifie ${\omega }^k=c$.

4) Le lemme de d'Alembert. Pour $t\in ]0,1]$, avec $h=t\omega$ et $b_k{\omega }^k=-P(z_0)$ : $$P(z_0+t\omega )=(1-t^k)P(z_0)+t^{k+1}{\omega }^{k+1}Q(t\omega ).$$ La fonction $t\mapsto |Q(t\omega )|$, continue sur le segment $[0,1]$, est bornée par un réel $K\ge 0$. Par l'inégalité triangulaire, et parce que $1-t^k\ge 0$ : $$|P(z_0+t\omega )|\le (1-t^k)|P(z_0)|+t^{k+1}|\omega {|}^{k+1}K=|P(z_0)|-t^k(|P(z_0)|-t|\omega {|}^{k+1}K).$$ Pour $0<t<\min (1,\frac{|P(z_0)|}{|\omega {|}^{k+1}K+1})$, la parenthèse est strictement positive — c'est ici que sert $P(z_0)\ne 0$ —, et $|P(z_0+t\omega )|<|P(z_0)|$.

L'idée géométrique. Près de $z_0$, $P(z_0+h)$ se comporte comme $P(z_0)+b_k{h}^k$ ; la direction $\omega$ est choisie pour que $b_k(t\omega {)}^k$ pointe de $P(z_0)$ vers l'origine : on descend vers $0$, et le reste, d'ordre supérieur, est trop petit pour l'empêcher.

5) La conclusion. $|P(z_0)|$ est le minimum de $|P|$ sur $\mathbb{C}$ (question 2) ; si $P(z_0)\ne 0$, le 4) fournirait un point où $|P|$ est strictement plus petit : impossible. Donc $P(z_0)=0$. Scindé, par récurrence sur le degré : si $n=1$, $P=a_1(X-z_0)$ ; si $n\ge 2$, $X-z_0$ divise $P$ (première année), $P=(X-z_0)P_1$ avec $\mathrm{deg}{P}_1=n-1\ge 1$, et l'hypothèse de récurrence appliquée à $P_1$ donne $P=a_n{\prod }_{j=1}^n(X-z_j)$.

Contrôle. Pour $P=X^2+1$ : $S=1$, $R=2$, et pour $|z|\ge 2$, $|z^2+1|\ge |z{|}^2-1\ge \frac{|z{|}^2}{2}$, puisque $|z{|}^2\ge 2$. En $z_0=0$ : $P(h)=1+h^2$, $k=2$, $b_2=1$, et ${\omega }^2=-1$ donne $\omega =i$ ; alors $P(ti)=1-t^2<1$ : la direction choisie mène droit vers la racine $i$.

6) Ce qui en dépend. Toute matrice complexe a une valeur propre : pour $A\in {\mathcal{M}}_n(\mathbb{C})$, ${\chi }_A$ est de degré $n\ge 1$, donc a une racine $\lambda$, et $\det (\lambda I_n-A)=0$. C'est ce qu'utilisent le chapitre de réduction, pour trigonaliser toute matrice complexe, et celui des endomorphismes euclidiens, pour qu'une matrice symétrique réelle ait une valeur propre réelle.

La factorisation réelle, par récurrence forte sur le degré de $P\in \mathbb{R}[X]$ non constant. Si $P$ a une racine réelle $r$, $P=(X-r)P_1$ avec $P_1$ réel. Sinon, $P$ a une racine $z$ non réelle, et comme ses coefficients sont réels, $P(\overline{z})=\overline{P(z)}=0$, avec $\overline{z}\ne z$. Le polynôme $T=(X-z)(X-\overline{z})=X^2-2\mathrm{Re}(z)X+|z{|}^2$ est réel, de discriminant $4\mathrm{Re}(z{)}^2-4|z{|}^2=-4\mathrm{Im}(z{)}^2<0$. La division euclidienne dans $\mathbb{R}[X]$ donne $P=T{P}_1+U$ avec $\mathrm{deg}U\le 1$ ; en évaluant en $z$ et en $\overline{z}$, $U$ a deux racines distinctes, donc est nul. Ainsi $P=T{P}_1$ avec $P_1$ réel de degré $\mathrm{deg}P-2$, et l'on conclut par récurrence.

Le théorème obtenu — théorème de d'Alembert–Gauss. Tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au moins une racine dans $\mathbb{C}$ ; il est donc scindé sur $\mathbb{C}$, toute matrice carrée complexe admet une valeur propre, et tout polynôme réel non constant est produit de polynômes réels de degré $1$ et de degré $2$ à discriminant strictement négatif.

Ce que le problème installe. Le schéma exister, puis localiser : le théorème des bornes atteintes garantit le minimum, un argument local dit ce qu'il vaut. La coercivité ramène un domaine non borné à un disque ; on la retrouvera dans tous les problèmes d'optimisation sur un domaine non borné — le TD 10 s'en sert pour le point de Fermat–Torricelli. Et la factorisation réelle a une lecture immédiate en électronique : toute fonction de transfert rationnelle se décompose en filtres du premier et du second ordre — c'est exactement la question 6.