Moyenne et moyenne quadratique sur C([0,1])

Stratégie. Une inégalité par Cauchy-Schwarz intégral, où le vecteur « caché » est la fonction constante $1$. Puis une suite témoin pour montrer que l'inégalité inverse est impossible : il faut une famille de fonctions dont la masse se concentre, de sorte que la moyenne quadratique reste grande devant la moyenne.

Étape 1 — l'inégalité $\Vert f{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_2$. Sur $E=\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R})$, l'application $$⟨f,g⟩={\int }_0^{1}f(t)g(t)\mathrm{d}t$$ est un produit scalaire (première année ; la séparation vient de la continuité : une fonction continue positive d'intégrale nulle est nulle). Appliquons Cauchy-Schwarz au couple $(|f|,1)$ : $$\Vert f{\Vert }_1={\int }_0^1|f|=⟨|f|,1⟩\le \Vert |f|{\Vert }_2\cdot \Vert 1{\Vert }_2.$$ Or $\Vert |f|{\Vert }_2={\left({\int }_0^1{f}^2\right)}^{1/2}=\Vert f{\Vert }_2$ et $\Vert 1{\Vert }_2={\left({\int }_0^{1}1\right)}^{1/2}=1$. D'où $$\boxed{\Vert f{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_2\text{pour toute }f\in \mathcal{C}([0,1]).}$$ (L'intervalle est de longueur $1$ : c'est ce qui rend la constante égale à $1$. Sur $[0,L]$ on obtiendrait $\Vert f{\Vert }_1\le \sqrt{L}\Vert f{\Vert }_2$.)

Étape 2 — l'inégalité inverse est impossible. Supposons qu'il existe $C>0$ tel que $\Vert f{\Vert }_2\le C\Vert f{\Vert }_1$ pour toute $f$ continue. Testons sur $f_n(t)=t^n$, qui est bien continue sur $[0,1]$ : $$\Vert f_n{\Vert }_1={\int }_0^1{t}^n\mathrm{d}t=\frac{1}{n+1},\Vert f_n{\Vert }_2^2={\int }_0^1{t}^{2n}\mathrm{d}t=\frac{1}{2n+1},\text{donc}\Vert f_n{\Vert }_2=\frac{1}{\sqrt{2n+1}}.$$ Le rapport vaut $$\frac{\Vert f_n{\Vert }_2}{\Vert f_n{\Vert }_1}=\frac{n+1}{\sqrt{2n+1}}\underset{n\to +\infty }{\sim }\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{2}}⟶+\infty .$$ L'inégalité supposée donnerait $\frac{n+1}{\sqrt{2n+1}}\le C$ pour tout $n$ : impossible. Les deux normes ne sont donc pas équivalentes.

Le point délicat. Les deux normes de $f_n$ tendent vers $0$ : ce n'est pas la taille des normes qui compte, mais leur rapport. Autrement dit, la suite $(f_n)$ tend vers la fonction nulle pour les deux normes, et pourtant elle y tend « beaucoup plus vite » en moyenne qu'en moyenne quadratique. Géométriquement, $t^n$ se concentre près de $t=1$ : son aire s'effondre en $\frac{1}{n+1}$ alors que sa hauteur reste égale à $1$, et la moyenne quadratique, qui pèse les grandes valeurs, ne décroît qu'en $\frac{1}{\sqrt{2n}}$.

Pourquoi ce n'est pas une contradiction avec le cours. $\mathcal{C}([0,1])$ est de dimension infinie ; le théorème d'équivalence des normes n'y a pas cours. C'est l'un des deux ou trois contre-exemples à garder en tête, avec celui de l'exercice résolu 3 ($\Vert \cdot {\Vert }_1$ contre $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$, même suite témoin).

Contrôle chiffré.

$n$	$\Vert f_n{\Vert }_1=\frac{1}{n+1}$	$\Vert f_n{\Vert }_2=\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$	$\Vert f_n{\Vert }_1\le \Vert f_n{\Vert }_2$ ?	rapport $\frac{\Vert f_n{\Vert }_2}{\Vert f_n{\Vert }_1}$
$1$	$0,500000$	$0,577350$	✓	$1,1547$
$5$	$0,166667$	$0,301511$	✓	$1,8091$
$20$	$0,047619$	$0,156174$	✓	$3,2797$
$100$	$0,009901$	$0,070535$	✓	$7,1240$
$10^4$	$9,999\cdot 10^{-5}$	$7,0709\cdot 10^{-3}$	✓	$70,72$

L'inégalité $\Vert f{\Vert }_1\le \Vert f{\Vert }_2$ est vérifiée à chaque ligne, et le rapport croît bien comme $\sqrt{n/2}$ : pour $n=10^4$, $\sqrt{10^4/2}=70,71$, à comparer à la valeur exacte $70,72$. ✓