Séparer deux fermés disjoints par une fonction continue

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PC), chapitre 5 — Espaces Vectoriels Normés et Topologie · Autres exercices résolus, par thème du cours

Énoncé

Soient $E$ un espace vectoriel normé, $g_{1}, g_{2} : E \to R_{+}$ deux fonctions continues, et $F_{1} = {x \in E ∣ g_{1} (x) = 0}$ , $F_{2} = {x \in E ∣ g_{2} (x) = 0}$ , supposés non vides et disjoints.

a) Montrer que $F_{1}$ et $F_{2}$ sont des fermés de $E$ .

b) Montrer que $h = \frac{g _{1}}{g _{1} + g _{2}}$ est définie et continue sur $E$ , à valeurs dans $[0, 1]$ , nulle sur $F_{1}$ et égale à $1$ sur $F_{2}$ : on sépare deux fermés par une fonction continue.

c) En déduire deux ouverts disjoints contenant respectivement $F_{1}$ et $F_{2}$ .

d) Exemple : dans $R^{2}$ muni de la norme euclidienne, $F_{1}$ est la boule fermée de centre $0$ et de rayon $1$ , et $F_{2} = {(x, y) ∣ y \geq 2}$ . Proposer $g_{1}$ et $g_{2}$ , et calculer $h$ sur l'axe des ordonnées.

Corrigé

Stratégie. Tout l'exercice tient dans une vérification : le dénominateur $g_{1} + g_{2}$ ne s'annule jamais, et c'est exactement là que l'hypothèse « disjoints » est consommée. Le reste découle des opérations sur les fonctions continues.

a) Deux fermés. $F_{1} = g_{1}^{- 1} ({0})$ est l'image réciproque du fermé ${0}$ de $R$ par l'application continue $g_{1}$ : c'est un fermé (cours). De même pour $F_{2}$ .

b) La fonction de séparation. Le dénominateur ne s'annule pas. Si $g_{1} (x) + g_{2} (x) = 0$ , les deux termes, positifs, sont nuls : $x \in F_{1} \cap F_{2}$ , ce qui contredit $F_{1} \cap F_{2} = \emptyset$ . Donc $g_{1} + g_{2} > 0$ sur $E$ , et $h$ est définie partout.

Continuité. $g_{1}$ et $g_{1} + g_{2}$ sont continues, et la seconde ne s'annule pas : le quotient $h$ est continu sur $E$ .

Valeurs. Pour tout $x$ , $0 \leq g_{1} (x) \leq g_{1} (x) + g_{2} (x)$ , donc $0 \leq h (x) \leq 1$ . Si $x \in F_{1}$ , $g_{1} (x) = 0$ et $h (x) = 0$ . Si $x \in F_{2}$ , $g_{2} (x) = 0$ et $g_{1} (x) > 0$ (sinon $x$ serait dans $F_{1} \cap F_{2}$ ), donc $h (x) = \frac{g _{1} ( x )}{g _{1} ( x )} = 1$ .

c) Deux ouverts disjoints. $U_{1} = h^{- 1} (] - \infty, \frac{1}{2} [)$ et $U_{2} = h^{- 1} (] \frac{1}{2}, + \infty [)$ sont des ouverts, images réciproques d'ouverts par une application continue ; ils sont disjoints, puisqu'un réel ne peut être à la fois strictement inférieur et strictement supérieur à $\frac{1}{2}$ ; et ils contiennent respectivement $F_{1}$ , où $h = 0$ , et $F_{2}$ , où $h = 1$ .

d) L'exemple. $g_{1} (x, y) = max (x^{2} + y^{2} - 1, 0)$ est continue (la norme est continue, le maximum de deux fonctions continues aussi) et s'annule exactement sur la boule fermée ; $g_{2} (x, y) = max (2 - y, 0)$ est continue et s'annule exactement sur ${y \geq 2}$ . Les deux fermés sont disjoints : un point de la boule a une ordonnée au plus égale à $1$ . Sur l'axe des ordonnées, pour $y \in [1, 2]$ , $g_{1} (0, y) = y - 1$ et $g_{2} (0, y) = 2 - y$ , donc $h (0, y) = \frac{y - 1}{( y - 1 ) + ( 2 - y )} = y - 1 :$ une rampe affine, qui passe de $0$ au bord de la boule à $1$ au bord du demi-plan ; pour $y \in [- 1, 1]$ , $h (0, y) = 0$ , et pour $y \geq 2$ , $h (0, y) = 1$ .

Le point délicat. L'hypothèse « disjoints » sert une fois, et une seule : sans elle, le dénominateur s'annulerait en tout point commun. Et c'est la continuité des $g_{i}$ qui fait des $F_{i}$ des fermés : un ensemble défini par une équation continue est fermé.

Contrôle. Dans $E = R$ , avec $g_{1} (x) = max (x, 0)$ et $g_{2} (x) = max (1 - x, 0)$ , les fermés sont $F_{1} =] - \infty, 0]$ et $F_{2} = [1, + \infty [$ :

$x$	$g_{1} (x)$	$g_{2} (x)$	$h (x)$
$- 3$	$0$	$4$	$0$
$0$	$0$	$1$	$0$
$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$
$1$	$1$	$0$	$1$
$5$	$5$	$0$	$1$

Sur $[0, 1]$ , $h (x) = \frac{x}{x + ( 1 - x )} = x$ : la rampe affine, séparation la plus simple entre ces deux fermés.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.