Une application linéaire lipschitzienne, et une norme équivalente

Majoration. Pour tout $(x,y)$, $|x+y|\le |x|+|y|\le 2\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }$, et de même $|x-y|\le 2\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }$, donc $$\Vert u(x,y){\Vert }_{\infty }=\max (|x+y|,|x-y|)\le 2\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }.$$ Comme $u$ est linéaire, $\Vert u(X)-u(Y){\Vert }_{\infty }=\Vert u(X-Y){\Vert }_{\infty }\le 2\Vert X-Y{\Vert }_{\infty }$ : $u$ est $2$-lipschitzienne, donc continue (toute application lipschitzienne l'est).

Minoration. On a $x=\frac{(x+y)+(x-y)}{2}$, donc $|x|\le \frac{|x+y|+|x-y|}{2}\le \Vert u(x,y){\Vert }_{\infty }$ ; de même, $y=\frac{(x+y)-(x-y)}{2}$ donne $|y|\le \Vert u(x,y){\Vert }_{\infty }$. D'où $\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }\le \Vert u(x,y){\Vert }_{\infty }$.

La norme $N$. Séparation : si $N(x,y)=0$, la minoration donne $\Vert (x,y){\Vert }_{\infty }=0$, donc $(x,y)=(0,0)$. Homogénéité : $N(\lambda X)=\Vert \lambda u(X){\Vert }_{\infty }=|\lambda |N(X)$, par linéarité de $u$. Inégalité triangulaire : $N(X+Y)=\Vert u(X)+u(Y){\Vert }_{\infty }\le N(X)+N(Y)$. Enfin l'encadrement $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }\le N\le 2\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ dit que les deux normes sont équivalentes.

Contrôle. Pour $(x,y)=(3,-1)$ : $u(3,-1)=(2,4)$, de norme infinie $4$, bien comprise entre $\Vert (3,-1){\Vert }_{\infty }=3$ et $2\times 3=6$.

(Une application linéaire injective transporte une norme en une autre : c'est la minoration, fruit de l'injectivité, qui donne la séparation.)