Une norme qui voit la dérivée

La stratégie. Tout se joue sur une suite : $f_n(t)=\frac{t^n}{n}$ est uniformément petite, sa dérivée $t^{n-1}$ ne l'est pas. Elle sépare les deux normes (b) et prouve la discontinuité de la dérivation (c) par la caractérisation séquentielle de la continuité — aucun autre critère n'est nécessaire.

a) $N$ est une norme, qui domine la norme infinie. $\Vert f^{\prime }{\Vert }_{\infty }$ est fini, $f^{\prime }$ étant continue sur un segment. Séparation : si $N(f)=0$, alors $f(0)=0$ et $f^{\prime }=0$, donc $f$ est constante égale à $f(0)=0$. Homogénéité : immédiate. Inégalité triangulaire : celle de la valeur absolue en $0$, et celle de $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ pour les dérivées, puisque $(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$. Pour la domination, le théorème fondamental de l'analyse donne, pour $x\in [0,1]$, $$|f(x)|=|f(0)+{\int }_0^x{f}^{\prime }(t)\mathrm{d}t|\le |f(0)|+x\Vert f^{\prime }{\Vert }_{\infty }\le N(f),$$ et l'on passe à la borne supérieure.

b) La non-équivalence. $\Vert f_n{\Vert }_{\infty }=\frac{1}{n}$, atteint en $t=1$ ; et $f_n(0)=0$, $f_n^{\prime }(t)=t^{n-1}$, donc $N(f_n)=1$. La suite $(f_n)$ converge vers $0$ pour $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$, pas pour $N$ : les deux normes ne sont pas équivalentes. Le rapport $\frac{N(f_n)}{\Vert f_n{\Vert }_{\infty }}=n$ n'est pas borné.

c) La dérivation : continue ou non selon la norme. Pour $N$ : pour $f,g\in E$, $$\Vert D(f)-D(g){\Vert }_{\infty }=\Vert (f-g{)}^{\prime }{\Vert }_{\infty }\le N(f-g):$$ $D$ est $1$-lipschitzienne de $(E,N)$ dans $(\mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}),\Vert \cdot {\Vert }_{\infty })$, donc continue. Pour $\Vert \cdot {\Vert }_{\infty }$ : $(f_n)$ tend vers $0$ (b) ; si $D$ était continue en $0$, la caractérisation séquentielle donnerait $D(f_n)\to D(0)=0$. Or $D(f_n):t\mapsto t^{n-1}$ a pour norme infinie $1$ : $D$ n'est pas continue en $0$ — ni en aucun point $a$ : la suite $(a+f_n)$ tend vers $a$, et ses images $D(a)+D(f_n)$ ne tendent pas vers $D(a)$.

Le même argument vaut sur $\mathbb{R}[X]$ muni de $\Vert P{\Vert }_{\infty }={\sup }_{[0,1]}|P|$ : $P_n=\frac{X^n}{n}$ tend vers $0$, et ses dérivées $X^{n-1}$ restent de norme $1$.

d) En dimension finie, c'est impossible : toutes les normes y sont équivalentes et toute application linéaire y est continue (cours). La situation est un phénomène de dimension infinie.

Le point délicat. « La dérivation est continue » n'a pas de sens sans préciser les normes : en dimension infinie, la continuité d'une application linéaire dépend des normes placées au départ et à l'arrivée. La norme $N$ a été fabriquée pour voir la dérivée ; la norme infinie ne la voit pas.

Ce que l'exercice installe. Contrôler une fonction par sa valeur en un point et par sa dérivée, c'est le mécanisme du théorème de dérivation des suites de fonctions, au chapitre sur les suites et séries de fonctions : si les dérivées convergent uniformément et les valeurs en un point convergent, les fonctions convergent — c'est la convergence pour $N$. En physique, c'est le constat que dériver amplifie le bruit : un bruit $\epsilon \sin (\omega t)$ minuscule a une dérivée d'amplitude $\epsilon \omega$, arbitrairement grande à haute fréquence ; c'est pourquoi on filtre un signal mesuré avant de le dériver.