Une positivité stricte devient uniforme ; ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ est ouvert

La stratégie. L'hypothèse dit que $q(X)={}^{t}XAX$ est strictement positive en chaque point de la sphère unité ; mais une infinité de nombres strictement positifs peut avoir une borne inférieure nulle. Le théorème des bornes atteintes l'interdit : sur un fermé borné, une borne inférieure est un minimum, et un minimum de valeurs strictement positives est strictement positif.

a) La positivité uniforme. La sphère $S=\{X\mid \Vert X\Vert =1\}$ est non vide, fermée — image réciproque de $\{1\}$ par la norme, continue — et bornée, dans un espace de dimension finie ; $q$, polynomiale en les coordonnées, est continue. Il existe donc $X_0\in S$ tel que $q(X_0)={\min }_{S}q=:\alpha$, et $\alpha >0$ puisque $X_0\ne 0$. Pour $X\ne 0$, $\frac{X}{\Vert X\Vert }\in S$ et $q$ est homogène de degré $2$ : $\frac{q(X)}{\Vert X{\Vert }^2}=q\left(\frac{X}{\Vert X\Vert }\right)\ge \alpha$, d'où $q(X)\ge \alpha \Vert X{\Vert }^2$, encore vrai pour $X=0$.

b) Une petite perturbation reste définie positive. Soit $C=B-A$, de coefficients $c_{i,j}$ : ${}^{t}XCX={\sum }_{i,j}{c}_{i,j}{x}_i{x}_j$. L'inégalité de Cauchy-Schwarz dans ${\mathbb{R}}^{n^2}$, appliquée aux familles $(c_{i,j})$ et $(x_i{x}_j)$, donne $$\left|{}^{t}XCX\right|\le \left(\sum _{i,j}{c}_{i,j}^2{)}^{1/2}\right(\sum _{i,j}{x}_i^2{x}_j^2{)}^{1/2}=\Vert C{\Vert }_F\Vert X{\Vert }^2,$$ car ${\sum }_{i,j}{c}_{i,j}^2=\mathrm{tr}({}^{t}CC)$ et ${\sum }_{i,j}{x}_i^2{x}_j^2=({\sum }_i{x}_i^2{)}^2$. Si $\Vert B-A{\Vert }_F<\alpha$, alors pour toute colonne $X\ne 0$, $${}^{t}XBX={}^{t}XAX+{}^{t}X(B-A)X\ge (\alpha -\Vert B-A{\Vert }_F)\Vert X{\Vert }^2>0:$$ $B$ est définie positive. La boule ouverte de centre $A$ et de rayon $\alpha$ de l'espace normé $({\mathcal{S}}_n(\mathbb{R}),\Vert \cdot {\Vert }_F)$ est incluse dans ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$, et $A$ était quelconque : ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ est un ouvert de ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$.

c) Les positives forment un fermé. Pour chaque colonne $X$, $B\mapsto {}^{t}XBX$ est linéaire sur ${\mathcal{S}}_n(\mathbb{R})$, de dimension finie, donc continue, et $\{B\mid {}^{t}XBX\ge 0\}$ est fermé ; ${\mathcal{S}}_n^{+}(\mathbb{R})$ est l'intersection de ces fermés quand $X$ décrit ${\mathcal{M}}_{n,1}(\mathbb{R})$, donc un fermé. Pas ouvert : $0$ est positive, mais les $-\epsilon I_n$, qui tendent vers $0$, ne le sont pas. ${\mathcal{S}}_n^{++}(\mathbb{R})$ n'est pas fermé : les $\frac{1}{k}{I}_n$ sont définies positives et tendent vers $0$, qui ne l'est pas.

d) L'interprétation mécanique. Près d'une position d'équilibre, l'énergie potentielle s'écrit à l'ordre $2$ $\frac{1}{2}{}^{t}XAX$, où $X$ repère l'écart et $A$ est la matrice symétrique des raideurs ; l'équilibre est stable quand $A$ est définie positive. Le a) dit qu'un écart coûte au moins $\frac{\alpha }{2}\Vert X{\Vert }^2$ ; le b) qu'un équilibre stable le reste sous une erreur assez petite sur les raideurs. Un équilibre marginal, où $A$ est positive sans être définie — par exemple $\mathrm{diag}(1,0)$ —, peut basculer : $\mathrm{diag}(1,-\epsilon )$ est aussi proche qu'on veut et rend l'équilibre instable dans la seconde direction.

Contrôle. Pour $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 1& 2\end{array}\right)$ et $X=(\cos \theta ,\sin \theta )$, $q(X)=2+\sin 2\theta$ a pour minimum $\alpha =1$. La matrice $B=\left(\begin{array}{cc}2& 1,6\\ 1,6& 2\end{array}\right)$, à distance $\sqrt{0,72}\approx 0,85<1$ de $A$, doit être définie positive : en effet $\det B=1,44>0$ et $\mathrm{tr}B>0$. Et le rayon $1$ ne peut pas être agrandi ici : $\left(\begin{array}{cc}1,5& 1,5\\ 1,5& 1,5\end{array}\right)$, à distance exactement $1$ de $A$, est de déterminant nul.

Le point délicat. « ${}^{t}XAX>0$ pour tout $X\ne 0$ » ne donne à lui seul aucune minoration uniforme ; c'est le fait que la sphère soit fermée et bornée, en dimension finie, qui la fournit. Et il faut appliquer le théorème sur la sphère : sur tout l'espace, la borne inférieure de $q$ est $0$.

Ce que l'exercice installe. Une inégalité stricte sur un fermé borné est uniforme, et une propriété définie par une inégalité stricte uniforme résiste aux petites perturbations : c'est ainsi qu'on démontre qu'un ensemble est ouvert. Le théorème spectral donnera la valeur exacte de la constante, la plus petite valeur propre de $A$ — le TD 4 l'obtient par le quotient de Rayleigh ; ici, on s'en passe, et l'on obtient l'essentiel : l'existence. En mécanique, c'est la robustesse de la stabilité d'un équilibre.