Au-delà de l'équivalent : $\sum \ln \left(1+\frac{(-1{)}^n}{n^a}\right)$

La stratégie. Pour une série qui n'est pas de signe constant, l'équivalent ne décide rien. On développe le terme général jusqu'à obtenir un reste absolument convergent ; chaque morceau se traite alors par son outil — le théorème spécial des séries alternées, une série de Riemann, une série absolument convergente —, et c'est le terme de signe constant qui tranche.

a) Un équivalent inutile. Comme $\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}\to 0$ et $\ln (1+x)\sim x$ en $0$, l'équivalent est acquis. Mais le critère d'équivalence ne vaut que pour des séries de signe constant ; ici le terme change de signe à chaque rang. Le cours en donne le contre-exemple : $\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ et $\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}$ sont équivalents, et leurs séries sont de natures différentes.

b) Le développement, et la divergence. Au voisinage de $0$, $\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+O(x^3)$. Avec $x=\frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$, on a $x^2=\frac{1}{n}$ et $x^3=O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$, d'où le développement annoncé. Les trois morceaux :

• $\sum \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n}}$ converge, par le théorème spécial des séries alternées : $\frac{1}{\sqrt{n}}$ décroît vers $0$ ;
• $\sum O\left(\frac{1}{n^{3/2}}\right)$ converge absolument, par comparaison à une série de Riemann d'exposant $\frac{3}{2}>1$ ;
• $\sum \frac{1}{2n}$ diverge, et ses sommes partielles tendent vers $+\infty$.

Les sommes partielles de la série étudiée sont donc la somme de deux suites convergentes et de l'opposé d'une suite qui tend vers $+\infty$ : elles tendent vers $-\infty$, et la série diverge.

c) Le cas général. Pour $a>0$ et $n\ge 2$, $1+\frac{(-1{)}^n}{n^a}>0$ : le logarithme est défini. Le même développement donne $$\ln \left(1+\frac{(-1{)}^n}{n^a}\right)=\frac{(-1{)}^n}{n^a}-\frac{1}{2n^{2a}}+O\left(\frac{1}{n^{3a}}\right).$$ Comme $a>\frac{1}{3}$, on a $3a>1$ et le reste est absolument convergent ; $\sum \frac{(-1{)}^n}{n^a}$ converge par le théorème spécial ; et $\sum \frac{1}{2n^{2a}}$ converge si et seulement si $2a>1$. La série converge donc si et seulement si $a>\frac{1}{2}$ ; pour $a\le \frac{1}{2}$, ses sommes partielles tendent vers $-\infty$. Absolument : $\left|\ln \left(1+\frac{(-1{)}^n}{n^a}\right)\right|\sim \frac{1}{n^a}$, terme positif, donc la convergence absolue a lieu si et seulement si $a>1$. Entre $\frac{1}{2}$ et $1$, la série converge sans converger absolument.

d) Les produits. ${\prod }_{k=2}^n\left(1+\frac{(-1{)}^k}{k^a}\right)=\exp \left({\sum }_{k=2}^n\ln \left(1+\frac{(-1{)}^k}{k^a}\right)\right)$. Pour $a=\frac{1}{2}$, l'exposant tend vers $-\infty$ : le produit tend vers $0$. Pour $a=0,6>\frac{1}{2}$, l'exposant converge vers un réel $L$ : le produit tend vers $e^L>0$.

Contrôle numérique. Pour $a=\frac{1}{2}$, le produit vaut environ $0,62$ à $n=10$, $0,18$ à $n=100$ et $1,7\times 10^{-3}$ à $n=10^6$ : il décroît comme une constante divisée par $\sqrt{n}$, trace du terme $-\frac{1}{2}\ln n$ dans les sommes partielles. Pour $a=0,6$, il vaut environ $0,40$ à $n=100$ et $0,17$ à $n=10^6$, et tend lentement vers une limite voisine de $0,14$.

Interprétation. Un placement qui gagne une fraction $x$ puis perd la même fraction est multiplié par $(1+x)(1-x)=1-x^2<1$ : les gains et les pertes alternés ne se compensent pas, et c'est la somme des carrés des fractions qui décide. Si ces fractions décroissent trop lentement, comme $\frac{1}{\sqrt{k}}$, le placement est ruiné.

Le point délicat. Il faut pousser le développement exactement jusqu'à ce que le reste soit absolument convergent : s'arrêter à l'ordre $1$ ne dit rien, et c'est le terme d'ordre $2$, de signe constant, qui décide.

Ce que l'exercice installe. Le geste standard devant une série de signe non constant : développer jusqu'à un reste absolument convergent, traiter la partie alternée par le théorème spécial, et lire la nature sur le premier terme de signe constant.