Cesàro et ses retombées

Application directe du cours · niveau 2 · mathématiques (PC), chapitre 6 — Séries Numériques · Niveau ★★ — raisonnement intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ telle que $u_{n + 1} - u_{n} \to ℓ$ (fini). Montrer que $\frac{u _{n}}{n} \to ℓ$ .

Corrigé

Appliquons Cesàro à la suite des différences $v_{k} = u_{k + 1} - u_{k} \to ℓ$ : $\frac{v _{0} + v _{1} + \dots + v _{n - 1}}{n} = \frac{u _{n} - u _{0}}{n} ⟶ ℓ,$ d'où $\frac{u _{n}}{n} \to ℓ$ (le terme $\frac{u _{0}}{n}$ s'efface). (Cesàro transforme une information sur les accroissements en information sur la croissance — c'est la version discrète de « $f^{'} \to ℓ \Rightarrow \frac{f ( x )}{x} \to ℓ$ ».)

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