Constante d'Euler et développement asymptotique de la série harmonique

1. Convergence vers $\gamma$ par télescopage : Posons $v_n=u_n-u_{n-1}$ pour $n\ge 2$ : $$v_n=(H_n-\ln n)-(H_{n-1}-\ln (n-1))=\frac{1}{n}-\ln \left(\frac{n}{n-1}\right)=\frac{1}{n}+\ln \left(1-\frac{1}{n}\right).$$ À l'aide du développement limité $\ln (1-u)=-u-\frac{u^2}{2}+O(u^3)$ au voisinage de 0 : $$v_n=\frac{1}{n}+\left(-\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)\right)=-\frac{1}{2n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right).$$ Comme $|v_n|\sim \frac{1}{2n^2}$, la série $\sum v_n$ converge absolument d'après la règle de Riemann ($\alpha =2>1$). Par conséquent, la suite des sommes partielles $u_n=u_1+{\sum }_{k=2}^n{v}_k$ converge vers une limite finie notée $\gamma$. Par comparaison avec l'intégrale ${\int }_1^n\frac{\mathrm{d}t}{t}=\ln n$, on a $0<\ln (n+1)<H_n\le 1+\ln n$, d'où $\gamma \in [0,1]$. Plus précisément, $v_n<0$ (car $\ln (1-x)<-x$) : $(u_n)$ décroît, donc $\gamma \le u_2=\frac{3}{2}-\ln 2<1$ ; et $H_n-\ln (n+1)$ croît (car $\ln (1+x)<x$), donc $\gamma \ge 1-\ln 2>0$ : $\gamma \in ]0,1[$.

2. Développement asymptotique et sommation des restes : Comme $u_n\to \gamma$, le reste $u_n-\gamma$ s'écrit par sommation télescopique : $$u_n-\gamma =-\sum _{k=n+1}^{+\infty }{v}_k=\sum _{k=n+1}^{+\infty }\left(\frac{1}{2k^2}+O\left(\frac{1}{k^3}\right)\right).$$ Par comparaison série-intégrale pour $k\ge n+1$ : $$\sum _{k=n+1}^{+\infty }\frac{1}{k^2}={\int }_n^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^2}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)=\frac{1}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ Ainsi : $$u_n-\gamma =\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)⟺H_n=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$