La constante d'Euler, par le lien suite-série

La convergence, par le lien suite-série. Étudions la série des différences : $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+1}-\ln \frac{n+1}{n}=\frac{1}{n+1}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right).$$ Les inégalités $\frac{x}{1+x}\le \ln (1+x)\le x$, valables pour $x\ge 0$, appliquées à $x=\frac{1}{n}$, donnent $$-\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\le u_{n+1}-u_n\le 0.$$ La suite $(u_n)$ est donc décroissante ; et la série $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge absolument, puisque $|u_{n+1}-u_n|\le \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}\le \frac{1}{n^2}$, terme d'une série de Riemann convergente. Par le lien suite-série, $(u_n)$ converge, vers une limite notée $\gamma \approx 0,577$.

La vitesse, par télescopage. Comme $u_N\to \gamma$, on a $u_n-\gamma ={\sum }_{k\ge n}(u_k-u_{k+1})$, et chaque terme est compris entre $0$ et $\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$. La série majorante télescope : $$0\le u_n-\gamma \le \sum _{k\ge n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\frac{1}{n}.$$ D'où le développement asymptotique $H_n=\ln n+\gamma +O\left(\frac{1}{n}\right)$, avec l'encadrement explicite $0\le H_n-\ln n-\gamma \le \frac{1}{n}$ (pour $n=10$ : $H_{10}-\ln 10-\gamma \approx 0,0492$).

(Le lien suite-série prouve que la constante existe ; une majoration télescopique en mesure la vitesse. Le problème de concours du chapitre pousse le développement d'un cran : $H_n=\ln n+\gamma +\frac{1}{2n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$.)