La constante des sommes partielles de $\sum 1/\sqrt{k}$

Stratégie. Le terme principal $2\sqrt{n}$ est déjà connu (exercice résolu 4, par comparaison série-intégrale). On le soustrait et l'on montre que ce qui reste converge, par le lien suite-série. Particularité agréable de cet exercice : l'accroissement se calcule exactement, par quantité conjuguée, sans aucun développement limité.

Posons $S_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}$ et $u_n=S_n-2\sqrt{n}$.

Étape 1 — l'accroissement, exactement. $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right).$$ La quantité conjuguée donne $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$, donc $$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{\sqrt{n+1}}-\frac{2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=\frac{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)-2\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}.$$ En réutilisant la conjuguée au numérateur, $\sqrt{n}-\sqrt{n+1}=-\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}$ : $$\boxed{u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{\sqrt{n+1}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}^2}}$$ Formule exacte — aucun développement limité n'a été nécessaire, et l'on lit au passage que l'accroissement est toujours strictement négatif.

Étape 2 — la majoration. On minore le dénominateur : $\sqrt{n+1}\ge \sqrt{n}$ et ${\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}^2\ge {\left(2\sqrt{n}\right)}^2=4n$, donc $$\left|u_{n+1}-u_n\right|\le \frac{1}{4n^{3/2}}=O\left(n^{-3/2}\right).$$ Un encadrement dans l'autre sens ($\sqrt{n+1}\le \sqrt{2n}$ et ${\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}^2\le 8n$ pour $n\ge 1$) montre d'ailleurs que $u_{n+1}-u_n\sim -\frac{1}{4n^{3/2}}$.

Étape 3 — le lien suite-série. La série $\sum \left|u_{n+1}-u_n\right|$ est dominée par une série de Riemann d'exposant $\frac{3}{2}>1$ : elle converge. La série télescopique $\sum (u_{n+1}-u_n)$ converge donc absolument, et la suite $(u_n)$ converge vers un réel qu'on note $C$ : $$\boxed{\sum _{k=1}^n\frac{1}{\sqrt{k}}=2\sqrt{n}+C+o(1).}$$

Précision supplémentaire, par encadrement. Notons $a_k=-(u_{k+1}-u_k)=\frac{1}{\sqrt{k+1}{\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)}^2}>0$ (étape 1). Comme $u_n\to C$, le reste de la série télescopique donne $$u_n-C=\sum _{k\ge n}{a}_k.$$ Encadrons $a_k$ : $4k\le {\left(\sqrt{k+1}+\sqrt{k}\right)}^2\le 4(k+1)$ et $\sqrt{k}\le \sqrt{k+1}$, donc $$\frac{1}{4(k+1{)}^{3/2}}\le a_k\le \frac{1}{4k^{3/2}}.$$ Les restes de la série de Riemann s'encadrent par comparaison série-intégrale, la fonction $t\mapsto t^{-3/2}$ étant décroissante : pour $n\ge 2$, $$\frac{2}{\sqrt{n}}={\int }_n^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}}\le \sum _{k\ge n}\frac{1}{k^{3/2}}\le {\int }_{n-1}^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^{3/2}}=\frac{2}{\sqrt{n-1}}.$$ En sommant l'encadrement de $a_k$ pour $k\ge n$ (la borne inférieure fait apparaître ${\sum }_{k\ge n+1}{k}^{-3/2}\ge \frac{2}{\sqrt{n+1}}$) : $$\frac{1}{2\sqrt{n+1}}\le u_n-C\le \frac{1}{2\sqrt{n-1}}.$$ Les deux bornes sont équivalentes à $\frac{1}{2\sqrt{n}}$, donc $u_n-C\sim \frac{1}{2\sqrt{n}}$ — un encadrement suffit, aucun théorème de sommation n'intervient. D'où le développement d'un cran de plus : $$S_n=2\sqrt{n}+C+\frac{1}{2\sqrt{n}}+o\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right).$$ Signalons aussi une conséquence du signe trouvé à l'étape 1 : $(u_n)$ est strictement décroissante, donc $u_n>C$ pour tout $n$ — les sommes partielles $S_n$ sont toujours au-dessus de $2\sqrt{n}+C$.

Le point délicat. Ce n'est pas $\sum \frac{1}{\sqrt{k}}$ qu'on étudie (elle diverge, exposant $\frac{1}{2}\le 1$), mais la série des écarts $\sum (u_{n+1}-u_n)$. Le lien suite-série consiste précisément à substituer à une suite dont on ignore tout la série de ses accroissements, qu'on sait estimer.

Contrôle numérique. La constante vaut $C\approx -1,4603545$ (obtenue par accélération numérique).

$n$	$S_n-2\sqrt{n}$	$C+\frac{1}{2\sqrt{n}}$	$\sqrt{n}\left(S_n-2\sqrt{n}-C\right)$
$10^2$	$-1,4103962$	$-1,4103545$	$0,499583$
$10^3$	$-1,4445444$	$-1,4445431$	$0,499958$
$10^4$	$-1,4553546$	$-1,4553545$	$0,499996$
$10^5$	$-1,4587734$	$-1,4587734$	$0,500000$

Deux lectures : l'écart entre les colonnes 2 et 3 tombe de $4,2\cdot 10^{-5}$ à $10^2$ à $1,3\cdot 10^{-6}$ à $10^3$ puis à moins de $10^{-7}$ à $10^4$ — le terme correctif $\frac{1}{2\sqrt{n}}$ est donc le bon —, et la dernière colonne se stabilise exactement à $\frac{1}{2}$, ce qui confirme l'équivalent $S_n-2\sqrt{n}-C\sim \frac{1}{2\sqrt{n}}$. On vérifie enfin la décroissance annoncée : $u_{10}=-1,30356>u_{100}=-1,41040>C$. ✓