mathématiques (PC) · Chapitre 6 · Exercice de TD

La formule de Stirling, et le théorème local de de Moivre–Laplace

Séries Numériques · C. Formule de Stirling · niveau 3 (difficile)

Énoncé

1) Pour $n \geq 1$ , on pose $v_{n} = ln \frac{n ! e ^{n}}{n ^{n + 1/2}}$ . Montrer que $v_{n} - v_{n + 1} = (n + \frac{1}{2}) ln (1 + \frac{1}{n}) - 1 = \frac{1}{12 n ^{2}} + O (\frac{1}{n ^{3}}) .$ En déduire que $(v_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ , puis que $n! \sim C n^{n + 1/2} e^{- n}$ , avec $C = e^{ℓ}$ .

2) En sommant la relation précédente de $n$ à l'infini et en utilisant une comparaison série-intégrale, montrer que $v_{n} - ℓ = \frac{1}{12 n} + O (\frac{1}{n ^{2}})$ , puis que $n! = C n^{n + 1/2} e^{- n} (1 + \frac{1}{12 n} + O (\frac{1}{n ^{2}})) .$

3) Pour $n \in N$ , on pose $W_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} t d t$ . Montrer que $(n + 2) W_{n + 2} = (n + 1) W_{n}$ , puis que $(n + 1) W_{n + 1} W_{n} = \frac{π}{2}$ .

4) Montrer que $W_{n} \sim \frac{π}{2 n}$ , puis que $W_{2 n} = \frac{π}{2} (n 2 n) 4^{- n}$ .

5) En déduire que $(n 2 n) 4^{- n} \sim \frac{1}{π n}$ . En exprimant d'autre part $(n 2 n) = \frac{( 2 n )!}{( n ! ) ^{2}}$ à l'aide de la question 1, montrer que $C = 2 π$ , et faire un contrôle numérique pour $n = 10$ .

6) Théorème local de de Moivre–Laplace. Soit $(k_{n})$ une suite d'entiers telle que $\frac{k _{n}}{n} \to x \in R$ . Montrer que $\frac{( n + k _{n} 2 n )}{( n 2 n )} n \to + \infty e^{- x^{2}}, puis que (n + k _{n} 2 n) 4^{- n} \sim \frac{e ^{- x^{2}}}{π n} .$ Interpréter pour $2 n$ lancers d'une pièce équilibrée, et énoncer le théorème obtenu.

Corrigé de la question 1

Le plan. Le lien suite-série prouve qu'une constante existe, il ne la calcule jamais (question 1) ; en sommant avec précision, on obtient le terme correctif (question 2). Il faut un second calcul, de nature toute différente, qui fasse apparaître la même constante : ce seront les intégrales de Wallis (questions 3 et 4), et la confrontation des deux équivalents de $(n 2 n)$ livre la valeur (question 5). La question 6 en tire la répartition des résultats d'un grand nombre de lancers : la courbe en cloche.

1) L'existence de la constante. On a $v_{n} = ln (n!) + n - (n + \frac{1}{2}) ln n$ . En retranchant l'expression analogue au rang $n + 1$ , et comme $ln ((n + 1)!) = ln (n!) + ln (n + 1)$ : $v_{n} - v_{n + 1} = - ln (n + 1) - 1 - (n + \frac{1}{2}) ln n + (n + \frac{3}{2}) ln (n + 1) = (n + \frac{1}{2}) ln (1 + \frac{1}{n}) - 1.$ Le développement $ln (1 + x) = x - \frac{x ^{2}}{2} + \frac{x ^{3}}{3} + O (x^{4})$ en $x = \frac{1}{n}$ donne $(n + \frac{1}{2}) (\frac{1}{n} - \frac{1}{2 n ^{2}} + \frac{1}{3 n ^{3}} + O (\frac{1}{n ^{4}})) = 1 + (\frac{1}{3} - \frac{1}{4}) \frac{1}{n ^{2}} + O (\frac{1}{n ^{3}}) = 1 + \frac{1}{12 n ^{2}} + O (\frac{1}{n ^{3}}),$ les termes en $\frac{1}{n}$ se compensant ( $- \frac{1}{2 n} + \frac{1}{2 n}$ ). D'où $v_{n} - v_{n + 1} = \frac{1}{12 n ^{2}} + O (\frac{1}{n ^{3}}) = O (\frac{1}{n ^{2}})$ : la série $\sum (v_{n} - v_{n + 1})$ converge absolument, et par le lien suite-série $(v_{n})$ converge vers un réel $ℓ$ . Donc $\frac{n ! e ^{n}}{n ^{n + 1/2}} = e^{v_{n}} \to e^{ℓ} = C > 0$ : $n! \sim C n^{n + 1/2} e^{- n}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

En sommant de $n$ à l'infini, j'obtiens $v_{n} - ℓ = \frac{1}{12} \sum_{k \geq n} \frac{1}{k ^{2}} + \sum_{k \geq n} O (\frac{1}{k ^{3}})$ . Mais je ne sais pas si j'ai le droit de sommer des $O$ comme ça.

Ta prudence est justifiée : une somme infinie de $O$ n'a de sens qu'une fois précisée. Comment traduire $O (\frac{1}{k ^{3}})$ par une inégalité explicite, avec une constante valable pour tous les $k \geq 1$ ?

Élève

Il existe $K$ avec $∣ ε_{k} ∣ \leq \frac{K}{k ^{3}}$ à partir d'un certain rang, et quitte à augmenter $K$ , pour tout $k \geq 1$ , puisqu'il n'y a qu'un nombre fini de premiers termes.

Oui. Comment la comparaison série-intégrale te permet-elle ensuite d'estimer les restes $\sum_{k \geq n} \frac{1}{k ^{2}}$ et $\sum_{k \geq n} \frac{1}{k ^{3}}$ , et à quelle précision as-tu besoin de chacun pour conclure ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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