La série harmonique, par télescopage

L'encadrement. Pour $x>-1$, $\ln (1+x)\le x$ : la fonction concave $x\mapsto \ln (1+x)$ est sous sa tangente en $0$. Pour $x\ge 0$, $\ln (1+x)\ge \frac{x}{1+x}$ : la fonction $x\mapsto \ln (1+x)-\frac{x}{1+x}$ est nulle en $0$ et de dérivée $\frac{1}{1+x}-\frac{1}{(1+x{)}^2}=\frac{x}{(1+x{)}^2}\ge 0$. Avec $x=\frac{1}{k}$, pour lequel $\frac{x}{1+x}=\frac{1}{k+1}$ : $$\frac{1}{k+1}\le \ln \left(1+\frac{1}{k}\right)\le \frac{1}{k}.$$

Le télescopage. ${\sum }_{k=1}^n\ln \left(1+\frac{1}{k}\right)={\sum }_{k=1}^n(\ln (k+1)-\ln k)=\ln (n+1)$. En sommant l'encadrement de $k=1$ à $n$ : $$H_{n+1}-1\le \ln (n+1)\le H_n.$$ La seconde inégalité donne $H_n\ge \ln (n+1)\ge \ln n$ ; la première, écrite au rang $n-1$ (pour $n\ge 2$), donne $H_n-1\le \ln n$. Donc, pour $n\ge 2$, $$\ln n\le H_n\le 1+\ln n,$$ et en divisant par $\ln n>0$ : $\frac{H_n}{\ln n}\to 1$, c'est-à-dire $H_n\sim \ln n$.

(Deux démonstrations valent mieux qu'une : la comparaison série-intégrale compare la série à une intégrale, celle-ci à une série télescopique exactement calculable ; l'encadrement obtenu est d'ailleurs le même.)