La suite des sommes $I_2+A+\cdots +A^N$

Le télescopage. $(I_2-A)S_N=(I_2+A+\cdots +A^N)-(A+A^2+\cdots +A^{N+1})=I_2-A^{N+1}$.

Les puissances de $A$. La matrice $A$ est symétrique réelle, de valeurs propres $\frac{1}{2}$ et $-\frac{1}{2}$, de vecteurs propres $(1,1)$ et $(1,-1)$ : avec $P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$, $A=P\mathrm{diag}\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)P^{-1}$, donc $A^{N+1}=P\mathrm{diag}\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^{N+1},{\left(-\frac{1}{2}\right)}^{N+1}\right)P^{-1}$. Chaque coefficient de $A^{N+1}$ est une combinaison linéaire fixe de ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{N+1}$ et de ${\left(-\frac{1}{2}\right)}^{N+1}$, qui tendent vers $0$ : $A^{N+1}\to 0$.

La limite. $\det (I_2-A)=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\ne 0$ : $I_2-A$ est inversible, et $S_N=(I_2-A{)}^{-1}(I_2-A^{N+1})$. L'application $M\mapsto (I_2-A{)}^{-1}M$ est linéaire, donc continue en dimension finie : $S_N\to (I_2-A{)}^{-1}$, et $$(I_2-A{)}^{-1}={\left(\begin{array}{cc}1& -1/2\\ -1/2& 1\end{array}\right)}^{-1}=\frac{1}{3/4}\left(\begin{array}{cc}1& 1/2\\ 1/2& 1\end{array}\right)=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right).$$

Contrôle par diagonalisation. La limite a les mêmes vecteurs propres que $A$, avec les valeurs propres $\frac{1}{1-1/2}=2$ et $\frac{1}{1+1/2}=\frac{2}{3}$ ; or $\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right)$ a pour valeurs propres $\frac{4+2}{3}=2$ et $\frac{4-2}{3}=\frac{2}{3}$ : c'est cohérent.

(On n'a parlé que d'une suite de matrices, celle des sommes $S_N$, qui converge dans l'espace normé de dimension finie ${\mathcal{M}}_2(\mathbb{R})$.)