La suite $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$ et la loi en $\sqrt{n}$

La stratégie. La suite n'a pas de forme close. On cherche la puissance de $u_n$ dont l'accroissement a une limite : c'est le carré, puisque $u_{n+1}^2-u_n^2\to 2$. En sommant, le télescopage donne $u_n^2$ exactement, à une somme près qu'on majore ; puis le lien suite-série fournit le terme suivant.

a) Le carré, et la divergence. Par récurrence, $u_n>0$ : c'est vrai pour $n=0$, et si $u_n>0$, alors $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}>0$. Ensuite $$u_{n+1}^2=u_n^2+2+\frac{1}{u_n^2}.$$ En sommant de $k=0$ à $n-1$, le télescopage donne l'égalité $u_n^2-u_0^2=2n+{\sum }_{k=0}^{n-1}\frac{1}{u_k^2}$, d'où l'encadrement annoncé, la somme étant positive. En particulier $u_n^2\ge u_0^2+2n\to +\infty$, et comme $u_n>0$, $u_n\to +\infty$.

b) L'équivalent. Par le a), $u_k^2\ge u_0^2+2k$, donc $\frac{1}{u_k^2}\le \frac{1}{u_0^2+2k}\le \frac{1}{2k}$ pour $k\ge 1$. Et la comparaison série-intégrale, avec $t\mapsto \frac{1}{t}$ décroissante, donne ${\sum }_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}\le 1+\ln n$. D'où $$2n\le u_n^2-u_0^2\le 2n+\frac{1}{u_0^2}+\frac{1+\ln n}{2}.$$ En divisant par $2n$ : $\frac{u_n^2}{2n}\to 1$, puisque $\frac{u_0^2}{n}$, $\frac{1}{n}$ et $\frac{\ln n}{n}$ tendent vers $0$. Les termes étant positifs, la racine carrée conserve l'équivalent : $u_n\sim \sqrt{2n}$. Aucun lemme de Cesàro n'a servi : le télescopage donne une égalité exacte, et il suffit de majorer ce qui reste.

c) Le terme suivant. L'écart est logarithmique. L'encadrement du b) donne $0\le u_n^2-2n-u_0^2\le \frac{1}{u_0^2}+\frac{1+\ln n}{2}$ : $u_n^2-2n=O(\ln n)$. Les inverses sont proches. Comme $u_n^2\ge 2n$, $$\left|\frac{1}{u_n^2}-\frac{1}{2n}\right|=\frac{|u_n^2-2n|}{2n{u}_n^2}\le \frac{|u_n^2-2n|}{4n^2}=O\left(\frac{\ln n}{n^2}\right).$$ Le développement. Reprenons l'égalité du a), pour $n\ge 2$, en isolant la partie harmonique : $$u_n^2-2n=u_0^2+\frac{1}{u_0^2}+\frac{1}{2}\sum _{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}+\sum _{k=1}^{n-1}{d}_k,d_k=\frac{1}{u_k^2}-\frac{1}{2k}.$$ La série $\sum d_k$ converge absolument : $d_k=O\left(\frac{\ln k}{k^2}\right)$, et $\frac{\ln k}{k^2}$ est négligeable devant $\frac{1}{k^{3/2}}$ (car $\frac{\ln k}{\sqrt{k}}\to 0$), terme d'une série de Riemann convergente ; notons $D$ sa somme. Et ${\sum }_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}-\ln n$ converge vers la constante d'Euler ${\gamma }_E$ : par le lien suite-série, les accroissements de $w_n={\sum }_{k=1}^{n-1}\frac{1}{k}-\ln n$ valent $w_{n+1}-w_n=\frac{1}{n}-\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$, terme d'une série absolument convergente. D'où $$u_n^2-2n-\frac{1}{2}\ln n\underset{n\to +\infty }{\to }{u}_0^2+\frac{1}{u_0^2}+\frac{{\gamma }_E}{2}+D=:C,$$ c'est-à-dire $u_n^2=2n+\frac{1}{2}\ln n+C+o(1)$.

Contrôle numérique, pour $u_0=1$.

$n$	$u_n$	$\sqrt{2n}$	$u_n^2-2n$	$u_n^2-2n-\frac{1}{2}\ln n$
$10$	$4,78871$	$4,47214$	$2,93173$	$1,78043$
$100$	$14,28406$	$14,14214$	$4,03449$	$1,73190$
$10^4$	$141,44373$	$141,42136$	$6,32846$	$1,72329$
$10^6$	$1414,21661$	$1414,21356$	$8,63090$	$1,72314$

Le rapport $\frac{u_n}{\sqrt{2n}}$ tend bien vers $1$ ; l'écart $u_n^2-2n$ ne se stabilise pas, il croît comme $\frac{1}{2}\ln n$ ; et la dernière colonne se stabilise : $C\approx 1,7231$.

Le point délicat. Écrire directement $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{u_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2n}}$ serait circulaire : cet équivalent est le résultat cherché. Le passage aux carrés brise le cercle, parce que l'accroissement $2+\frac{1}{u_n^2}$ ne demande de $u_n$ qu'une minoration grossière.

Ce que l'exercice installe. Devant une récurrence sans forme close, on cherche la puissance dont l'accroissement a une limite, on télescope, on majore le reste, puis le lien suite-série livre le terme suivant. En physique, la récurrence est le schéma d'Euler de l'équation $u^{\prime }=\frac{1}{u}$, dont la solution $u=\sqrt{u_0^2+2t}$ croît en racine du temps : c'est la loi d'épaississement d'une couche de glace sur un lac ou d'une couche d'oxyde, dont la vitesse de croissance est inversement proportionnelle à l'épaisseur, parce que la chaleur ou la matière doit la traverser.