Le produit de Cauchy : ce qu'il donne, et ce qu'il exige

La stratégie : une image. Rangeons les produits $a_p{b}_q$ dans un tableau indexé par $(p,q)\in {\mathbb{N}}^2$. Le produit $A_N{B}_N$ est la somme sur le carré $0\le p,q\le N$ ; la somme partielle $C_N={\sum }_{n=0}^N{\sum }_{p+q=n}{a}_p{b}_q$ est la somme sur le triangle $p+q\le N$. Tout le théorème consiste à comparer un triangle à deux carrés.

a) Le cas positif. Le triangle $\{p+q\le N\}$ est inclus dans le carré $[[0,N]{]}^2$, et contient le carré $[[0,\lfloor N/2\rfloor ]{]}^2$, puisque $p,q\le \frac{N}{2}$ entraîne $p+q\le N$. Les termes étant positifs, $$A_{\lfloor N/2\rfloor }{B}_{\lfloor N/2\rfloor }\le C_N\le A_N{B}_N.$$ Quand $N\to +\infty$, $\lfloor N/2\rfloor \to +\infty$, et les deux bornes tendent vers $AB$, où $A$ et $B$ sont les sommes des deux séries : par encadrement, $C_N\to AB$.

b) Le cas absolument convergent. La différence $A_N{B}_N-C_N$ est la somme des $a_p{b}_q$ sur les couples du carré qui ne sont pas dans le triangle ; par l'inégalité triangulaire, $$|A_N{B}_N-C_N|\le \sum _{\begin{array}{c}0\le p,q\le N\\ p+q>N\end{array}}|a_p||b_q|={\tilde{A}}_N{\tilde{B}}_N-{\tilde{C}}_N.$$ Par le a), appliqué aux séries positives convergentes $\sum |a_n|$ et $\sum |b_n|$, ${\tilde{A}}_N{\tilde{B}}_N$ et ${\tilde{C}}_N$ ont la même limite : le majorant tend vers $0$. Donc $C_N-A_N{B}_N\to 0$, et comme $A_N{B}_N\to AB$, $C_N\to AB$. De plus $|c_n|\le {\sum }_k|a_k||b_{n-k}|$, terme général d'une série convergente par le a) : le produit de Cauchy converge absolument. C'est le théorème du cours.

c) L'exponentielle. Pour tout $z\in \mathbb{C}$, $\sum \frac{z^n}{n!}$ converge absolument : pour $z\ne 0$, la règle de d'Alembert appliquée à $\frac{|z{|}^n}{n!}$ donne un quotient $\frac{|z|}{n+1}\to 0$. Le produit de Cauchy de $\sum \frac{a^n}{n!}$ et $\sum \frac{b^n}{n!}$ a pour terme général $$c_n=\sum _{k=0}^n\frac{a^k}{k!}\cdot \frac{b^{n-k}}{(n-k)!}=\frac{1}{n!}\sum _{k=0}^n\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)a^k{b}^{n-k}=\frac{(a+b{)}^n}{n!},$$ par la formule du binôme. Par le b), $e^a{e}^b=e^{a+b}$ : la propriété fondamentale de l'exponentielle se lit sur la seule série.

d) Le contre-exemple. La série $\sum \frac{(-1{)}^n}{\sqrt{n+1}}$ converge, par le théorème spécial, sans converger absolument. Son carré de Cauchy a pour terme $$c_n=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k(-1{)}^{n-k}}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}=(-1{)}^n\sum _{k=0}^n\frac{1}{\sqrt{(k+1)(n-k+1)}}.$$ Par l'inégalité entre moyennes géométrique et arithmétique, $\sqrt{(k+1)(n-k+1)}\le \frac{(k+1)+(n-k+1)}{2}=\frac{n+2}{2}$ : chacun des $n+1$ termes de la somme est au moins $\frac{2}{n+2}$, et $$|c_n|\ge \frac{2(n+1)}{n+2}\ge 1.$$ Le terme général ne tend pas vers $0$ : le produit de Cauchy de deux séries convergentes peut diverger grossièrement. Contrôle : pour $n=10$, $|c_{10}|\approx 2,293$, au-dessus de la borne $\frac{22}{12}\approx 1,833$.

Le point délicat. Au b), l'inégalité triangulaire ne suffit pas seule : c'est l'identification du majorant à ${\tilde{A}}_N{\tilde{B}}_N-{\tilde{C}}_N$, suivie du a) pour les valeurs absolues, qui le fait tendre vers $0$. Et le d) montre que l'hypothèse de convergence absolue n'est pas une précaution : sans elle, la zone « carré moins triangle » ne devient pas négligeable.

Ce que l'exercice installe. Le produit de Cauchy est l'opération qui multiplie les séries entières, et il redonne l'équation fonctionnelle de l'exponentielle. En probabilités, c'est la loi de la somme de deux variables indépendantes à valeurs entières, $\mathbb{P}(X+Y=n)={\sum }_k\mathbb{P}(X=k)\mathbb{P}(Y=n-k)$ : c'est pourquoi les fonctions génératrices se multiplient. En traitement du signal, c'est la convolution discrète d'un filtre.