mathématiques (PC) · Chapitre 6 · Exercice de TD

Le produit de Cauchy : ce qu'il donne, et ce qu'il exige

Séries Numériques · F. Produit de Cauchy · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $\sum a_{n}$ et $\sum b_{n}$ deux séries complexes, $c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}$ , et $A_{N}$ , $B_{N}$ , $C_{N}$ les sommes partielles de rang $N$ des trois séries.

a) On suppose $a_{n} \geq 0$ , $b_{n} \geq 0$ et les deux séries convergentes. Montrer que $A_{⌊ N /2 ⌋} B_{⌊ N /2 ⌋} \leq C_{N} \leq A_{N} B_{N}$ , et en déduire que $\sum c_{n} = (\sum a_{n}) (\sum b_{n})$ .

b) On suppose les deux séries absolument convergentes. En notant $A ~_{N}$ , $B ~_{N}$ , $C ~_{N}$ les sommes partielles associées à $∣ a_{n} ∣$ , $∣ b_{n} ∣$ et à leur produit de Cauchy, montrer que $∣ A_{N} B_{N} - C_{N} ∣ \leq A ~_{N} B ~_{N} - C ~_{N}$ , et conclure.

c) En déduire que $e^{a} e^{b} = e^{a + b}$ pour tous $a, b \in C$ , où $e^{z} = \sum_{n \geq 0} \frac{z ^{n}}{n !}$ .

d) Soit $a_{n} = b_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n + 1}$ . Montrer que $∣ c_{n} ∣ \geq \frac{2 ( n + 1 )}{n + 2}$ , en utilisant $(k + 1) (n - k + 1) \leq (\frac{n + 2}{2})^{2}$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie : une image. Rangeons les produits $a_{p} b_{q}$ dans un tableau indexé par $(p, q) \in N^{2}$ . Le produit $A_{N} B_{N}$ est la somme sur le carré $0 \leq p, q \leq N$ ; la somme partielle $C_{N} = \sum_{n = 0}^{N} \sum_{p + q = n} a_{p} b_{q}$ est la somme sur le triangle $p + q \leq N$ . Tout le théorème consiste à comparer un triangle à deux carrés.

a) Le cas positif. Le triangle ${p + q \leq N}$ est inclus dans le carré $[[0, N]]^{2}$ , et contient le carré $[[0, ⌊ N /2 ⌋]]^{2}$ , puisque $p, q \leq \frac{N}{2}$ entraîne $p + q \leq N$ . Les termes étant positifs, $A_{⌊ N /2 ⌋} B_{⌊ N /2 ⌋} \leq C_{N} \leq A_{N} B_{N} .$ Quand $N \to + \infty$ , $⌊ N /2 ⌋ \to + \infty$ , et les deux bornes tendent vers $A B$ , où $A$ et $B$ sont les sommes des deux séries : par encadrement, $C_{N} \to A B$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Je dois majorer $∣ A_{N} B_{N} - C_{N} ∣$ , mais en développant le produit je ne vois pas quelle structure exploiter, puisque les $a_{n}$ et $b_{n}$ sont complexes.

Reprends l'image du tableau des produits $a_{p} b_{q}$ utilisée au a). À quels couples $(p, q)$ correspond exactement la différence $A_{N} B_{N} - C_{N}$ ?

Élève

Aux couples du carré $0 \leq p, q \leq N$ qui ne sont pas dans le triangle $p + q \leq N$ . Avec l'inégalité triangulaire, je retrouve la même somme écrite avec les modules, c'est l'expression demandée.

Oui. Pour conclure, que t'apprend le a), appliqué aux séries positives $\sum ∣ a_{n} ∣$ et $\sum ∣ b_{n} ∣$ , sur les limites de $A ~_{N} B ~_{N}$ et de $C ~_{N}$ , et que te reste-t-il à établir sur la nature de $\sum c_{n}$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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