Le reste d'une série alternée vaut la moitié du premier terme omis

La stratégie. Le théorème spécial donne une majoration du reste ; l'égalité du a) dit que deux restes consécutifs se partagent exactement le terme $a_{n+1}$. Si les restes décroissent — c'est ce qu'assure la convexité de la suite au b) —, chacun en prend à peu près la moitié.

a) Le signe, et le partage. Par le théorème spécial des séries alternées, $R_n$ est du signe de son premier terme $(-1{)}^{n+1}{a}_{n+1}$, et $|R_n|\le a_{n+1}$ ; ainsi $|R_n|=(-1{)}^{n+1}{R}_n$ et $|R_{n+1}|=(-1{)}^{n+2}{R}_{n+1}$. Or $R_n=(-1{)}^{n+1}{a}_{n+1}+R_{n+1}$ ; en multipliant par $(-1{)}^{n+1}$ : $$|R_n|=a_{n+1}+(-1{)}^{n+1}{R}_{n+1}=a_{n+1}-|R_{n+1}|.$$

b) Les restes décroissent, et valent la moitié du terme omis. Posons $d_k=a_k-a_{k+1}$ : $d_k\ge 0$, la suite $(d_k)$ est décroissante par hypothèse, et tend vers $0$. On a $|R_n|={\sum }_{j\ge 0}(-1{)}^j{a}_{n+1+j}$ et $|R_{n+1}|={\sum }_{j\ge 0}(-1{)}^j{a}_{n+2+j}$ ; par différence de deux séries convergentes, $$|R_n|-|R_{n+1}|=\sum _{j\ge 0}(-1{)}^j(a_{n+1+j}-a_{n+2+j})=\sum _{j\ge 0}(-1{)}^j{d}_{n+1+j}.$$ C'est une série alternée dont le terme $d_{n+1+j}$ décroît vers $0$ : par le théorème spécial, sa somme a le signe de son premier terme $d_{n+1}\ge 0$. Donc $|R_n|\ge |R_{n+1}|$.

Alors, par le a) : $a_{n+1}=|R_n|+|R_{n+1}|\le 2|R_n|$, et, pour $n\ge 1$, $a_n=|R_{n-1}|+|R_n|\ge 2|R_n|$. D'où $$\frac{a_{n+1}}{2}\le |R_n|\le \frac{a_n}{2}.$$ Si $a_{n+1}\sim a_n$, les deux bornes sont équivalentes à $\frac{a_n}{2}$, donc $|R_n|\sim \frac{a_n}{2}$, et avec le signe : $R_n\sim \frac{(-1{)}^{n+1}{a}_n}{2}$.

c) Le cas de $\ln 2$. Ici $a_k=\frac{1}{k+1}$ décroît vers $0$, $d_k=\frac{1}{(k+1)(k+2)}$ décroît, et $a_{n+1}\sim a_n$ : donc $R_n\sim \frac{(-1{)}^{n+1}}{2(n+1)}\sim \frac{(-1{)}^{n+1}}{2n}$. Le nombre de termes. La majoration du théorème spécial, $|R_n|\le \frac{1}{n+2}$, n'assure $10^{-3}$ qu'à partir de $n=998$, soit $999$ termes. Le b) fait mieux : $|R_n|\le \frac{1}{2(n+1)}\le 10^{-3}$ dès $n=499$, soit $500$ termes ; et $|R_n|\ge \frac{1}{2(n+2)}>10^{-3}$ pour $n\le 497$. Le calcul confirme que $500$ termes sont exactement nécessaires : la majoration du cours surestimait l'erreur d'un facteur $2$.

Contrôle. $2n|R_n|$ vaut environ $0,868$ pour $n=10$, $0,985$ pour $n=100$ et $0,9985$ pour $n=1000$ : il tend bien vers $1$.

d) Moyenner accélère. Pour $t\in [0,1]$, la somme géométrique donne $\frac{1}{1+t}={\sum }_{k=0}^n(-t{)}^k+\frac{(-t{)}^{n+1}}{1+t}$ ; en intégrant sur $[0,1]$, $\ln 2=S_n+(-1{)}^{n+1}{I}_{n+1}$, où $I_m={\int }_0^1\frac{t^m}{1+t}\mathrm{d}t$ : c'est la formule de l'énoncé. Alors $$\frac{S_n+S_{n+1}}{2}-\ln 2=-\frac{R_n+R_{n+1}}{2}=\frac{(-1{)}^n}{2}(I_{n+1}-I_{n+2}),$$ et $$0\le I_{n+1}-I_{n+2}={\int }_0^1\frac{t^{n+1}(1-t)}{1+t}\mathrm{d}t\le {\int }_0^1{t}^{n+1}(1-t)\mathrm{d}t=\frac{1}{(n+2)(n+3)}.$$ Donc $\left|\frac{S_n+S_{n+1}}{2}-\ln 2\right|\le \frac{1}{2(n+2)(n+3)}=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Contrôle : cette moyenne approche $\ln 2$ à $10^{-3}$ près dès $n=14$ — l'erreur y vaut environ $9,7\times 10^{-4}$ —, soit $16$ termes au lieu de $500$.

Le point délicat. Au b), la décroissance des restes n'est pas automatique : elle demande la décroissance de $(a_n-a_{n+1})$, c'est-à-dire une forme de convexité de la suite, et elle se démontre par le théorème spécial appliqué une seconde fois, à la série des différences.

Ce que l'exercice installe. La majoration $|R_n|\le a_{n+1}$ du théorème spécial est optimale à un facteur $2$ près, et moyenner deux sommes partielles consécutives d'une série alternée accélère considérablement sa convergence. C'est le principe des méthodes d'accélération employées pour calculer numériquement les sommes alternées de la physique.