Pas de série divergente « la plus lente » (Abel–Dini)

La stratégie. On compare chaque série à une série télescopique bâtie sur ses propres sommes partielles ou sur ses propres restes : ses sommes partielles se calculent exactement, et c'est ce calcul qui décide.

a) La divergence. Les termes sont strictement positifs : $(S_n)$ est strictement croissante, et comme la série diverge, $S_n\to +\infty$. Posons $v_n=\frac{u_n}{S_n}$ pour $n\ge 1$ ; comme $S_{n-1}>0$, on a $v_n\in ]0,1[$ et $1-v_n=\frac{S_{n-1}}{S_n}$, donc $$\ln S_n-\ln S_{n-1}=-\ln (1-v_n).$$ En sommant de $1$ à $n$, le télescopage donne ${\sum }_{k=1}^n-\ln (1-v_k)=\ln S_n-\ln S_0\to +\infty$ : la série positive $\sum -\ln (1-v_n)$ diverge. Si $(v_n)$ ne tend pas vers $0$, $\sum v_n$ diverge grossièrement. Si $v_n\to 0$, alors $-\ln (1-v_n)\sim v_n$, deux suites positives équivalentes : $\sum v_n$ diverge aussi.

b) La convergence. Comme $S_{n-1}\le S_n$, on a $S_n^2\ge S_{n-1}{S}_n$, donc $$0<\frac{u_n}{S_n^2}\le \frac{S_n-S_{n-1}}{S_{n-1}{S}_n}=\frac{1}{S_{n-1}}-\frac{1}{S_n}.$$ Les sommes partielles de la série majorante télescopent : ${\sum }_{k=1}^n\left(\frac{1}{S_{k-1}}-\frac{1}{S_k}\right)=\frac{1}{S_0}-\frac{1}{S_n}\le \frac{1}{S_0}$. La série positive $\sum \frac{u_n}{S_n^2}$ a des sommes partielles majorées : elle converge.

c) Du côté des restes. Les restes sont strictement positifs, et $u_n=R_{n-1}-R_n$. Divergence : $w_n=\frac{u_n}{R_{n-1}}=1-\frac{R_n}{R_{n-1}}\in ]0,1[$, et $-\ln (1-w_n)=\ln R_{n-1}-\ln R_n$ ; en sommant, ${\sum }_{k=1}^n-\ln (1-w_k)=\ln R_0-\ln R_n\to +\infty$, puisque $R_n\to 0$. Le même raisonnement qu'au a) montre que $\sum w_n$ diverge.

Convergence : en factorisant la différence de deux carrés, $$\frac{u_n}{\sqrt{R_{n-1}}}=\frac{(\sqrt{R_{n-1}}-\sqrt{R_n})(\sqrt{R_{n-1}}+\sqrt{R_n})}{\sqrt{R_{n-1}}}\le 2(\sqrt{R_{n-1}}-\sqrt{R_n}),$$ puisque $\sqrt{R_n}\le \sqrt{R_{n-1}}$. La série majorante télescope, de sommes partielles majorées par $2\sqrt{R_0}$ : $\sum \frac{u_n}{\sqrt{R_{n-1}}}$ converge.

d) La conclusion. Pour toute série divergente $\sum u_n$, la série $\sum \frac{u_n}{S_n}$ diverge encore, alors que son terme est négligeable devant $u_n$ (le quotient vaut $\frac{1}{S_n}\to 0$) : elle diverge « plus lentement ». Pour toute série convergente, $\sum \frac{u_n}{\sqrt{R_{n-1}}}$ converge encore, alors que $u_n$ est négligeable devant son terme (le quotient vaut $\sqrt{R_{n-1}}\to 0$) : elle converge « plus lentement ». Aucune série n'est à la frontière : aucune échelle de comparaison n'est universelle.

Contrôle. Pour $u_n=\frac{1}{n^2}$, la comparaison série-intégrale donne $\frac{1}{n}\le R_{n-1}={\sum }_{k\ge n}\frac{1}{k^2}\le \frac{1}{n}+\frac{1}{n^2}$, donc $R_{n-1}\sim \frac{1}{n}$. Alors $\frac{u_n}{R_{n-1}}\sim \frac{1}{n}$, terme d'une série de Riemann divergente, et $\frac{u_n}{\sqrt{R_{n-1}}}\sim \frac{1}{n^{3/2}}$, terme d'une série de Riemann convergente. Et dans l'autre sens, partant de la série divergente $\sum 1$, on obtient $\sum \frac{1}{n+1}$ ; partant de la série harmonique, dont les sommes partielles sont équivalentes à $\ln n$, on obtient $\sum \frac{1}{n\ln n}$ — le premier barreau des séries de Bertrand.

Le point délicat. Au a), le cas « $v_n$ ne tend pas vers $0$ » doit être traité à part : l'équivalent $-\ln (1-v_n)\sim v_n$ n'a de sens que si $v_n\to 0$.

Ce que l'exercice installe. Comparer une série à la série télescopique de ses propres sommes partielles est une technique à part entière. Et le résultat est une leçon : il n'y a pas d'échelle ultime de comparaison ; après Riemann viennent les séries de Bertrand, puis d'autres, sans fin.