Quand d'Alembert se tait : la règle de Raabe–Duhamel

La stratégie. Quand $\frac{u_{n+1}}{u_n}\to 1$, le terme suivant du développement décide. On cherche l'exposant $\alpha$ qui rend $n^{\alpha }{u}_n$ convergente, par le lien suite-série appliqué à son logarithme.

a) La règle de Raabe–Duhamel. Posons $w_n=\ln (n^{\alpha }{u}_n)=\alpha \ln n+\ln u_n$. Alors $$w_{n+1}-w_n=\alpha \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)+\ln \frac{u_{n+1}}{u_n}.$$ D'une part $\alpha \ln \left(1+\frac{1}{n}\right)=\frac{\alpha }{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. D'autre part, $x_n=\frac{u_{n+1}}{u_n}-1=-\frac{\alpha }{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ tend vers $0$, et $\ln (1+x)=x+O(x^2)$ au voisinage de $0$ : comme $x_n^2=O\left(\frac{1}{n^2}\right)$, $\ln \frac{u_{n+1}}{u_n}=-\frac{\alpha }{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right)$. Les termes en $\frac{1}{n}$ se compensent : $$w_{n+1}-w_n=O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ La série $\sum (w_{n+1}-w_n)$ converge absolument, par comparaison à une série de Riemann d'exposant $2$. Par le lien suite-série, $(w_n)$ converge vers un réel $w$, donc $n^{\alpha }{u}_n=e^{w_n}\to e^w=:C>0$, soit $u_n\sim \frac{C}{n^{\alpha }}$. Les termes étant positifs, $\sum u_n$ a la nature de $\sum \frac{1}{n^{\alpha }}$ : elle converge si et seulement si $\alpha >1$.

b) La série $\sum \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)x^n$. Le quotient de deux termes consécutifs se simplifie : $$\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+2}{n+1}\right)x^{n+1}}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)x^n}=\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1{)}^2}x=\frac{2(2n+1)}{n+1}x\underset{n\to +\infty }{\to }4x.$$ Pour $x<\frac{1}{4}$, la série converge ; pour $x>\frac{1}{4}$, elle diverge grossièrement. Au bord $x=\frac{1}{4}$, $u_n=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)4^{-n}$ vérifie $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{2n+1}{2n+2}=1-\frac{1}{2n+2}=1-\frac{1/2}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right),$$ car $\frac{1}{2n+2}-\frac{1}{2n}=-\frac{1}{2n(n+1)}$. Par le a) avec $\alpha =\frac{1}{2}$ : $u_n\sim \frac{C}{\sqrt{n}}$, et la série diverge. Conclusion : $\sum \left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)x^n$ converge si et seulement si $x<\frac{1}{4}$. Enfin $u_n^p\sim \frac{C^p}{n^{p/2}}$, terme positif : $\sum u_n^p$ converge si et seulement si $p>2$. La constante vaudra $C=\frac{1}{\sqrt{\pi }}$ : c'est le problème qui la calculera.

c) Un produit de quotients. Les facteurs sont strictement positifs, puisque $k+a>0$ et $k+b>0$. Et $$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1+a}{n+1+b}=1+\frac{a-b}{n+1+b}=1-\frac{b-a}{n}+O\left(\frac{1}{n^2}\right).$$ Par le a) avec $\alpha =b-a$ : $u_n\sim C{n}^{a-b}$, et $\sum u_n$ converge si et seulement si $b-a>1$. Avec $a=-\frac{1}{2}$ et $b=0$, on retrouve $u_n={\prod }_{k=1}^n\frac{2k-1}{2k}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)4^{-n}$, et $\alpha =\frac{1}{2}$ : c'est le b).

Le point délicat. L'hypothèse porte sur un reste en $O\left(\frac{1}{n^2}\right)$ : c'est lui qui rend la série des accroissements absolument convergente. Un reste seulement négligeable devant $\frac{1}{n}$ ne suffirait pas.

Ce que l'exercice installe. Quand d'Alembert se tait, le terme suivant décide, et le lien suite-série sur le logarithme donne un équivalent, pas seulement une nature. C'est le scénario des séries entières : d'Alembert donne le rayon, l'asymptotique fine décide du bord. Et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)4^{-n}$ est la probabilité qu'une marche au hasard sur $\mathbb{Z}$, à pas $\pm 1$ équiprobables, soit revenue en $0$ au temps $2n$ : la divergence de la série est la clé de la récurrence de cette marche. Et pour la marche du plan, puis de l'espace, dont chaque coordonnée fait un pas $\pm 1$ indépendamment, la probabilité de retour au temps $2n$ vaut $u_n^2$, puis $u_n^3$ : le seuil $p=2$ sépare la divergence de la convergence — le TD 11 en fera le théorème de Pólya.