Réordonner une série : ce que permet la convergence absolue

La stratégie. Pour une série positive, converger, c'est avoir des sommes partielles majorées ; et toute somme partielle de la série réordonnée est majorée par une somme partielle de la série initiale, prise assez loin. On passe ensuite au cas général en décomposant chaque terme en différence de termes positifs.

a) Le cas positif. Supposons $\sum u_n$ convergente, de somme $S$. Pour $N\in \mathbb{N}$, soit $M=\max (\sigma (0),\dots ,\sigma (N))$. Les indices $\sigma (0),\dots ,\sigma (N)$ sont distincts et au plus égaux à $M$, et les termes sont positifs, donc $$\sum _{n=0}^N{u}_{\sigma (n)}\le \sum _{m=0}^M{u}_m\le S.$$ Les sommes partielles de la série positive $\sum u_{\sigma (n)}$ sont majorées : elle converge, et sa somme $T$ vérifie $T\le S$. Appliquons ce résultat à la série positive convergente $\sum u_{\sigma (n)}$ et à la bijection ${\sigma }^{-1}$ : comme $u_{\sigma ({\sigma }^{-1}(n))}=u_n$, on obtient $S\le T$. Donc $S=T$. Réciproquement, si $\sum u_{\sigma (n)}$ converge, le même argument avec ${\sigma }^{-1}$ montre que $\sum u_n$ converge.

b) Le cas absolument convergent. Par le a), appliqué à la série positive $\sum |u_n|$, la série $\sum |u_{\sigma (n)}|$ converge : la convergence absolue se conserve. Cas réel : posons $u_n^{+}=\max (u_n,0)$ et $u_n^{-}=\max (-u_n,0)$. Ces suites sont positives, majorées par $|u_n|$, donc leurs séries convergent, et $u_n=u_n^{+}-u_n^{-}$. Par le a), $\sum u_{\sigma (n)}^{+}=\sum u_n^{+}$ et $\sum u_{\sigma (n)}^{-}=\sum u_n^{-}$. Par linéarité de la somme des séries convergentes, $$\sum _{n=0}^{+\infty }{u}_{\sigma (n)}=\sum _{n=0}^{+\infty }{u}_{\sigma (n)}^{+}-\sum _{n=0}^{+\infty }{u}_{\sigma (n)}^{-}=\sum _{n=0}^{+\infty }{u}_n^{+}-\sum _{n=0}^{+\infty }{u}_n^{-}=\sum _{n=0}^{+\infty }{u}_n.$$ Cas complexe : $|\mathrm{Re}(u_n)|\le |u_n|$ et $|\mathrm{Im}(u_n)|\le |u_n|$, donc les séries des parties réelle et imaginaire sont absolument convergentes ; le cas réel s'applique à chacune, et l'on recompose.

c) Une somme indexée par $\mathbb{Z}$. Le sens. Pour toute bijection $\varphi :\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$, on considère la série ${\sum }_k{q}^{|\varphi (k)|}$. Numérotons $\mathbb{Z}$ par ${\varphi }_0$ : $0,1,-1,2,-2,\dots$, c'est-à-dire ${\varphi }_0(0)=0$, ${\varphi }_0(2m-1)=m$ et ${\varphi }_0(2m)=-m$ pour $m\ge 1$. Les sommes partielles de ${\sum }_k|q{|}^{|{\varphi }_0(k)|}$ sont majorées par $1+2{\sum }_{m\ge 1}|q{|}^m$, série géométrique convergente : la série est absolument convergente. Toute autre numérotation s'écrit $\varphi ={\varphi }_0\circ \sigma$, avec $\sigma ={\varphi }_0^{-1}\circ \varphi$ bijection de $\mathbb{N}$ ; par le b), ${\sum }_k{q}^{|\varphi (k)|}$ converge absolument et a la même somme. La somme ne dépend pas de la numérotation : c'est elle qu'on note ${\sum }_{n\in \mathbb{Z}}{q}^{|n|}$.

La valeur. Avec ${\varphi }_0$, la somme partielle de rang $2M$ vaut $1+2{\sum }_{m=1}^M{q}^m$, qui tend vers $1+\frac{2q}{1-q}=\frac{1+q}{1-q}$ ; la suite des sommes partielles converge, donc sa limite est celle de cette suite extraite : $$\sum _{n\in \mathbb{Z}}{q}^{|n|}=\frac{1+q}{1-q}.$$ Contrôle : pour $q=0,3$, la somme vaut $\frac{1,3}{0,7}\approx 1,857143$, valeur que donnent les sommes partielles.

Le point délicat. Au a), l'inégalité $T\le S$ ne suffit pas : c'est la symétrie de l'argument, appliqué à ${\sigma }^{-1}$, qui donne l'égalité. Et sans convergence absolue, rien de tel n'est garanti : le cours signale que la série harmonique alternée, une fois réordonnée, peut changer de somme.

Ce que l'exercice installe. La convergence absolue rend la somme indépendante de l'ordre, et c'est elle qui donne un sens aux sommes indexées par un ensemble sans ordre privilégié. C'est pourquoi l'espérance d'une variable aléatoire discrète exigera la convergence absolue : pour $q\in ]0,1[$, la formule $\mathbb{P}(X=n)=\frac{1-q}{1+q}{q}^{|n|}$ définit une loi de probabilité sur $\mathbb{Z}$ précisément grâce au c). En physique, les sommes sur un réseau — l'énergie d'un cristal, une fonction de partition — n'ont de sens qu'à ce prix.