Séries de Bertrand : nature, reste, sommes partielles

La stratégie. Loin du bord $\alpha =1$, la puissance de $n$ l'emporte sur tout logarithme, et l'on compare à Riemann en glissant un exposant intermédiaire. Au bord, la puissance est exactement celle de la série harmonique, et c'est le logarithme qui décide : la fonction $t\mapsto \frac{1}{t{\ln }^{\beta }t}$ a une primitive explicite, et la comparaison série-intégrale donne la nature, puis la mesure.

a) La nature. Si $\alpha >1$ : soit $\gamma =\frac{1+\alpha }{2}$, de sorte que $1<\gamma <\alpha$. Alors $n^{\gamma }\cdot \frac{1}{n^{\alpha }{\ln }^{\beta }n}=\frac{1}{n^{(\alpha -1)/2}{\ln }^{\beta }n}\to 0$ par croissances comparées, quel que soit le signe de $\beta$ : le terme général est négligeable devant $\frac{1}{n^{\gamma }}$, avec $\gamma >1$, et la série converge. Si $\alpha <1$ : avec le même $\gamma$, désormais dans $]\alpha ,1[$, $n^{\gamma }\cdot \frac{1}{n^{\alpha }{\ln }^{\beta }n}=\frac{n^{(1-\alpha )/2}}{{\ln }^{\beta }n}\to +\infty$ : à partir d'un certain rang, le terme dépasse $\frac{1}{n^{\gamma }}$, avec $\gamma <1$, et la série diverge.

Si $\alpha =1$ et $\beta \le 0$ : pour $n\ge 3$, $\ln n\ge 1$, donc $\frac{1}{n{\ln }^{\beta }n}=\frac{{\ln }^{-\beta }n}{n}\ge \frac{1}{n}$ : la série diverge. Si $\alpha =1$ et $\beta >0$ : la fonction $f:t\mapsto \frac{1}{t{\ln }^{\beta }t}$ est continue, positive et décroissante sur $[2,+\infty [$ (son dénominateur est un produit de fonctions positives croissantes). Elle a pour primitive $\frac{{\ln }^{1-\beta }t}{1-\beta }$ si $\beta \ne 1$, et $\ln \ln t$ si $\beta =1$ ; l'intégrale ${\int }_2^{+\infty }f$ converge donc si et seulement si $\beta >1$. Par comparaison série-intégrale, la série a la même nature.

Bilan : la série converge si et seulement si $\alpha >1$, ou bien $\alpha =1$ et $\beta >1$.