Vitesse de convergence de la suite $u_{n+1}=\sin u_n$

Stratégie. Même mécanique qu'à l'exercice sur $u_{n+1}=u_n+\frac{1}{u_n}$ : la bonne inconnue n'est pas $u_n$, mais $\frac{1}{u_n^2}$. On établit d'abord que $u_n\to 0$ — sans quoi le développement limité de $\sin$ n'aurait aucune légitimité —, on calcule l'accroissement de la nouvelle inconnue, et Cesàro conclut.

Étape 1 — la suite entre dans $]0,1]$ et y reste. Comme $u_0\in ]0,\pi [$, on a $\sin u_0\in ]0,1]$ : donc $u_1\in ]0,1]$. Et si $u_n\in ]0,1]\subset ]0,\pi [$, alors $u_{n+1}=\sin u_n\in ]0,1]$. Par récurrence, $u_n\in ]0,1]$ pour tout $n\ge 1$. En particulier $u_n>0$ : diviser par $u_n$ aura un sens.

Étape 2 — elle décroît vers $0$. Sur $]0,1]$ on a l'inégalité stricte $\sin t<t$ (première année). Donc $u_{n+1}<u_n$ pour $n\ge 1$ : la suite $(u_n{)}_{n\ge 1}$ est strictement décroissante et minorée par $0$, donc convergente vers un réel $\ell \in [0,1]$. Par continuité de $\sin$, le passage à la limite dans $u_{n+1}=\sin u_n$ donne $\ell =\sin \ell$, dont la seule solution sur $[0,1]$ est $\ell =0$. Donc $$u_n⟶0^{+}.$$

Étape 3 — le changement d'inconnue. Posons $w_n=\frac{1}{u_n^2}$ (licite car $u_n>0$). Le développement limité $\sin t=t-\frac{t^3}{6}+O(t^5)$ donne $$u_{n+1}^2={\left(u_n-\frac{u_n^3}{6}+O(u_n^5)\right)}^2=u_n^2{\left(1-\frac{u_n^2}{6}+O(u_n^4)\right)}^2=u_n^2\left(1-\frac{u_n^2}{3}+O(u_n^4)\right),$$ puis, en inversant (le facteur entre parenthèses tend vers $1$, donc est non nul à partir d'un certain rang) : $$w_{n+1}=\frac{1}{u_n^2}{\left(1-\frac{u_n^2}{3}+O(u_n^4)\right)}^{-1}=\frac{1}{u_n^2}\left(1+\frac{u_n^2}{3}+O(u_n^4)\right)=w_n+\frac{1}{3}+O(u_n^2).$$ Comme $u_n\to 0$ (étape 2), le reste tend vers $0$ et $$w_{n+1}-w_n⟶\frac{1}{3}.$$

Étape 4 — Cesàro. L'exercice résolu 6 s'applique à $(w_n)$ : si $w_{n+1}-w_n\to \ell$ fini, alors $\frac{w_n}{n}\to \ell$. Ici $$\frac{1}{n{u}_n^2}⟶\frac{1}{3},\text{donc}{u}_n^2\sim \frac{3}{n},$$ et comme $u_n>0$, en prenant la racine : $$\boxed{u_n\sim \sqrt{\frac{3}{n}}}.$$

Le point délicat. L'étape 2 n'est pas décorative : le développement limité de $\sin$ en $0$ n'est applicable en $u_n$ que parce que $u_n$ tend vers $0$. Écrire $\sin u_n\approx u_n-\frac{u_n^3}{6}$ sans avoir établi cette convergence serait sans fondement. On notera d'ailleurs que l'hypothèse $u_0\in ]0,\pi [$ sert uniquement à garantir $u_1>0$ : le signe est ce qui permet ensuite d'inverser et de prendre la racine.

Contrôle numérique (itération en précision étendue, $u_0=1$) :

$n$	$u_n$	$\sqrt{3/n}$	rapport	$w_n-\frac{n}{3}$
$10$	$0,462958$	$0,547723$	$0,84524$	$1,332$
$10^2$	$0,168852$	$0,173205$	$0,97487$	$1,741$
$10^4$	$0,0173136$	$0,0173205$	$0,99960$	$2,652$
$10^5$	$0,00547697$	$0,00547723$	$0,999953$	$3,113$

Le rapport tend vers $1$, mais lentement — et la dernière colonne dit pourquoi : $w_n-\frac{n}{3}$ ne tend pas vers une constante, il croît logarithmiquement. Mesure : entre $n=10^4$ et $n=10^5$, l'écart passe de $2,652$ à $3,113$, soit $+0,4604$ pour un facteur $10$ sur $n$ — à comparer à $\frac{1}{5}\ln 10=0,4605$. Le terme suivant du développement est donc $\frac{1}{5}\ln n$, ce que l'équivalent seul ne pouvait pas révéler.

Contrôle de robustesse. Avec $u_0=0,5$ puis $u_0=3$, on obtient à $n=10^5$ respectivement $u_n=0,00547675$ et $u_n=0,00547303$, soit des rapports à $\sqrt{3/n}$ de $0,999913$ et $0,999233$ : l'équivalent ne dépend pas de $u_0$, et l'on retrouve dans la colonne $w_n-\frac{n}{3}$ (respectivement $5,81$ et $51,18$) la seule trace que la condition initiale ait laissée — une constante additive, invisible dans l'équivalent.