Comportement de $\sum e^{-nx}$ au voisinage de $0$

Stratégie. Cette série de fonctions a une particularité rare : elle se somme exactement, parce que c'est une série géométrique déguisée. On calcule donc la somme en forme close, puis on développe cette expression. Une seconde voie, par comparaison série-intégrale, donne le même résultat sans passer par la forme close — on la donne aussi, car elle se généralise là où la première ne marcherait plus.

Étape 0 — le domaine. Posons $q=e^{-x}$. La série ${\sum }_{n\ge 1}{e}^{-nx}={\sum }_{n\ge 1}{q}^n$ converge si et seulement si $|q|<1$, c'est-à-dire $e^{-x}<1$, c'est-à-dire $x>0$. Pour $x\le 0$ le terme général ne tend pas vers $0$ : divergence grossière. Le domaine de $S$ est donc $]0,+\infty [$.

Étape 1 — la somme exacte. Pour $x>0$, la série géométrique de raison $q=e^{-x}\in ]0,1[$ donne $$S(x)=\sum _{n=1}^{+\infty }{q}^n=\frac{q}{1-q}=\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}.$$ En multipliant haut et bas par $e^x$ : $$\boxed{S(x)=\frac{1}{e^x-1}},x>0.$$

Étape 2 — l'équivalent en $0^{+}$. Quand $x\to 0^{+}$, on a $e^x-1\sim x$ (développement limité à l'ordre 1, ou définition de la dérivée de $\exp$ en $0$). Comme $e^x-1>0$ ne s'annule pas sur $]0,+\infty [$, on peut passer à l'inverse dans l'équivalent : $$S(x)=\frac{1}{e^x-1}\underset{x\to 0^{+}}{\sim }\frac{1}{x}.$$

Étape 3 — un cran de plus, gratuitement. Poussons le développement limité : $$e^x-1=x\left(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+O(x^3)\right),$$ donc $$S(x)=\frac{1}{x}{\left(1+\frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+O(x^3)\right)}^{-1}=\frac{1}{x}\left(1-\frac{x}{2}+\frac{x^2}{12}+O(x^3)\right)=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}+\frac{x}{12}+O(x^2).$$ Le terme constant $-\frac{1}{2}$ explique que l'approximation par $\frac{1}{x}$ soit systématiquement excédentaire : $S(x)<\frac{1}{x}$ pour tout $x>0$.

La seconde voie : comparaison série-intégrale. La fonction $t\mapsto e^{-tx}$ est positive et décroissante sur $[0,+\infty [$ pour $x>0$. L'encadrement des rectangles donne donc $${\int }_1^{+\infty }{e}^{-tx}\mathrm{d}t\le \sum _{n=1}^{+\infty }{e}^{-nx}\le {\int }_0^{+\infty }{e}^{-tx}\mathrm{d}t,\text{soit}\frac{e^{-x}}{x}\le S(x)\le \frac{1}{x}.$$ En multipliant par $x>0$ : $e^{-x}\le xS(x)\le 1$. Comme $e^{-x}\to 1$ quand $x\to 0^{+}$, le théorème d'encadrement donne $xS(x)\to 1$, c'est-à-dire $S(x)\sim \frac{1}{x}$ — sans jamais avoir sommé la série.

Le point délicat. On pourrait espérer conclure par le théorème de la double limite. Il ne s'applique pas : chaque terme $e^{-nx}$ tend vers $1$ quand $x\to 0^{+}$, et ${\sum }_{n}1$ diverge — l'hypothèse du théorème (convergence de la série des limites) tombe en défaut. Et de fait $S(x)\to +\infty$. C'est précisément lorsque la double limite échoue qu'il faut mesurer la divergence, et c'est ce que fait l'équivalent. Notons au passage que la convergence n'est pas uniforme sur $]0,+\infty [$ : si elle l'était, le reste ${\sum }_{n>N}{e}^{-nx}=\frac{e^{-(N+1)x}}{1-e^{-x}}$ serait uniformément petit, alors qu'il tend vers $+\infty$ quand $x\to 0^{+}$ à $N$ fixé. Elle est en revanche normale sur tout $[a,+\infty [$ avec $a>0$ (majoration par $e^{-na}$, géométrique).

Contrôle numérique.

$x$	$S(x)$ (somme calculée)	$\frac{1}{x}$	$\frac{1}{x}-\frac{1}{2}$	écart $S(x)-\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2}\right)$	$\frac{x}{12}$
$1$	$0,5819767$	$1$	$0,5$	$8,20\cdot 10^{-2}$	$8,33\cdot 10^{-2}$
$0,1$	$9,5083319$	$10$	$9,5$	$8,332\cdot 10^{-3}$	$8,333\cdot 10^{-3}$
$0,01$	$99,5008333$	$100$	$99,5$	$8,3333\cdot 10^{-4}$	$8,3333\cdot 10^{-4}$
$0,001$	$999,5000833$	$1000$	$999,5$	$8,3333\cdot 10^{-5}$	$8,3333\cdot 10^{-5}$

Trois lectures : la somme numérique coïncide à $10$ décimales avec $\frac{1}{e^x-1}$ ; le rapport $xS(x)$ vaut $0,9950$ puis $0,99950$ — il tend bien vers $1$ ; et l'écart au développement à l'ordre suivant reproduit exactement $\frac{x}{12}$. L'encadrement série-intégrale se vérifie aussi : à $x=0,01$, $\frac{e^{-x}}{x}=99,00498\le 99,50083\le 100$. ✓