Continuité de la somme de $\sum e^{-nx}\sin (nx)$

Stratégie : dominer par une géométrique sur chaque $[a,+\infty [$ avec $a>0$, conclure à la continuité par recollement — et vérifier que la domination ne peut pas se faire sur $]0,+\infty [$ tout entier. En prime, la somme se calcule : la théorie et le calcul se contrôlent l'un l'autre.

On pose $f_n(x)=e^{-nx}\sin (nx)$ pour $n\ge 0$, et $g(x)={\sum }_{n\ge 0}{f}_n(x)$ sur $J=]0,+\infty [$.

1. Convergence normale sur $[a,+\infty [$, $a>0$. Fixons $a>0$. Pour $x\ge a$ et $n\ge 0$ : $$\left|e^{-nx}\sin (nx)\right|\le e^{-nx}\le e^{-na}={\left(e^{-a}\right)}^n,$$ majorant indépendant de $x$, terme général d'une série géométrique de raison $e^{-a}\in ]0,1[$, donc convergente. La série $\sum f_n$ converge normalement sur $[a,+\infty [$ — donc uniformément, donc simplement.

2. Continuité. Chaque $f_n$ est continue sur $[a,+\infty [$, et la convergence y est uniforme : la somme $g$ est continue sur $[a,+\infty [$, pour tout $a>0$. Or tout $x_0>0$ est intérieur à un tel intervalle (prendre $a=\frac{x_0}{2}$), et la continuité est une propriété locale. Donc $g$ est continue sur $]0,+\infty [$.

3. Le point délicat : pas de convergence normale sur $]0,+\infty [$. On pourrait croire que le majorant $e^{-nx}$ suffit sur $J$ entier ; il n'en est rien, car ${\sup }_{x>0}{e}^{-nx}=1$. Le sup exact du terme général vaut, en posant $t=nx$ (qui décrit $]0,+\infty [$ quand $x$ le décrit, à $n\ge 1$ fixé) : $$\underset{x>0}{\sup }\left|e^{-nx}\sin (nx)\right|=\underset{t>0}{\sup }{e}^{-t}\left|\sin t\right|=e^{-\pi /4}\sin \frac{\pi }{4}=0,322397\dots$$ Le maximum de $t\mapsto e^{-t}\sin t$ s'obtient en annulant $e^{-t}(\cos t-\sin t)$, soit $\tan t=1$, soit $t=\frac{\pi }{4}$ (les maxima suivants sont plus petits, l'enveloppe $e^{-t}$ décroissant).

Ce sup ne dépend pas de $n$ : la série ${\sum }_n{\sup }_{x>0}|f_n(x)|$ diverge grossièrement. Pire, la convergence n'est même pas uniforme sur $]0,+\infty [$ : le terme général n'y tend pas uniformément vers $0$, alors que c'est une condition nécessaire de la convergence uniforme d'une série. Le passage par les $[a,+\infty [$ est obligatoire, et il donne tout ce dont on a besoin, la continuité étant locale.

4. La somme, explicitement. Posons $q=e^{-x}\in ]0,1[$ pour $x>0$. Alors $e^{-nx}\sin (nx)=\mathrm{Im}\left({\left(q{e}^{ix}\right)}^n\right)$, et $\left|q{e}^{ix}\right|=q<1$ : la série géométrique complexe converge et $$g(x)=\mathrm{Im}\sum _{n=0}^{+\infty }{\left(q{e}^{ix}\right)}^n=\mathrm{Im}\frac{1}{1-q{e}^{ix}}=\mathrm{Im}\frac{1-q{e}^{-ix}}{{\left|1-q{e}^{ix}\right|}^2}=\frac{q\sin x}{1-2q\cos x+q^2},$$ soit $$\boxed{g(x)=\frac{e^{-x}\sin x}{1-2e^{-x}\cos x+e^{-2x}}(x>0).}$$ Le dénominateur vaut ${\left|1-q{e}^{ix}\right|}^2$, strictement positif puisque $q<1$ : l'expression est bien définie et continue sur $]0,+\infty [$ — la continuité obtenue par la théorie se relit directement sur la formule, ce qui la confirme sans la remplacer (la théorie, elle, ne demandait pas de savoir sommer).

(On prendra garde à ne pas conclure de cette formule que $g$ se prolonge par continuité en $0$ : le dénominateur $1-2e^{-x}\cos x+e^{-2x}$ tend vers $0$ quand $x\to 0^{+}$ en même temps que le numérateur, et un développement limité donne $g(x)\sim \frac{1}{x}$ — la somme explose, ce que la seule majoration par $e^{-na}$ ne pouvait pas dire.)

Contrôle chiffré (en $x=1$). Valeur de référence par la formule fermée : $g(1)=0,4195697895$.

$N$	$S_N(1)={\sum }_{n=0}^N{e}^{-n}\sin n$	écart à $g(1)$	borne ${\sum }_{n>N}{e}^{-n}=\frac{e^{-(N+1)}}{1-e^{-1}}$
$3$	$0,4396458519$	$2,01\cdot 10^{-2}$	$2,90\cdot 10^{-2}$
$5$	$0,4193233498$	$2,46\cdot 10^{-4}$	$3,92\cdot 10^{-3}$
$10$	$0,4195878959$	$1,81\cdot 10^{-5}$	$2,64\cdot 10^{-5}$
$20$	$0,4195697890$	$5,15\cdot 10^{-10}$	$1,20\cdot 10^{-9}$

L'écart reste sous la borne de convergence normale à chaque ligne, et la somme partielle rejoint la formule fermée : les deux voies concordent. On notera que $20$ termes donnent $9$ décimales exactes — la décroissance géométrique est d'une autre nature que le $1/N$ des séries alternées.

Acquis. Domination géométrique $\Rightarrow$ convergence normale sur les intervalles adaptés $\Rightarrow$ continuité locale $\Rightarrow$ continuité globale. Et le réflexe utile : quand le terme général est $e^{-nx}$ fois quelque chose de borné, la somme est une géométrique déguisée — passer par $\mathrm{Re}$ ou $\mathrm{Im}$ d'une géométrique complexe donne la valeur exacte, donc un moyen de se contrôler.