Convergence uniforme de $x/(1+nx)$ sur $[0,+\infty [$

Stratégie : calculer la limite simple, puis ${\sup }_{x\ge 0}|u_n(x)-0|$. Ici le sup se majore en une ligne, et la majoration est optimale — c'est le cas où tout se passe bien, et il vaut la peine de comprendre pourquoi.

On pose $u_n(x)=\frac{x}{1+nx}$ sur $I=[0,+\infty [$, pour $n\ge 1$ (le dénominateur $1+nx\ge 1>0$ ne s'annule jamais sur $I$).

1. Limite simple. $u_n(0)=0$ pour tout $n$. Pour $x>0$ fixé, $1+nx\to +\infty$ donc $u_n(x)\to 0$. La suite converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,+\infty [$. La limite est continue — ce qui n'interdit rien, mais ne garantit rien.

2. Le sup, par la dérivée. $u_n$ est dérivable sur $I$ et $$u_n^{\prime }(x)=\frac{(1+nx)-x\cdot n}{(1+nx{)}^2}=\frac{1}{(1+nx{)}^2}>0.$$ $u_n$ est donc strictement croissante sur $[0,+\infty [$, de $u_n(0)=0$ vers $$\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x}{1+nx}=\frac{1}{n}.$$ Comme $u_n\ge 0$, on en déduit $$\Vert u_n{\Vert }_{\infty ,[0,+\infty [}=\underset{x\ge 0}{\sup }\frac{x}{1+nx}=\frac{1}{n}.$$ Cette borne supérieure est atteinte nulle part : c'est un sup, pas un max. Cela ne change rien à l'argument — la convergence uniforme se lit sur le sup.

3. Le même sup, sans dériver. Pour $x>0$ : $1+nx>nx>0$, donc $$0\le u_n(x)=\frac{x}{1+nx}<\frac{x}{nx}=\frac{1}{n},$$ et l'inégalité $0\le u_n(x)\le \frac{1}{n}$ vaut aussi en $x=0$. Le majorant $\frac{1}{n}$ ne dépend pas de $x$ : c'est déjà tout ce dont on a besoin. (Il est optimal, comme le montre l'étape 2, mais on n'a même pas besoin de le savoir.)

4. Conclusion. $$\Vert u_n{\Vert }_{\infty ,[0,+\infty [}=\frac{1}{n}\underset{n\to +\infty }{\to }0:$$ $(u_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $[0,+\infty [$, donc a fortiori simplement, et sur toute partie de $[0,+\infty [$.

5. Pourquoi c'est le cas agréable — et ce qu'il faut en retenir. Comparons trois suites classiques sur leur intervalle naturel :

suite	$\Vert u_n{\Vert }_{\infty }$	où le sup est-il « atteint » ?	convergence uniforme globale ?
$\frac{x}{1+nx}$ sur $[0,+\infty [$	$\frac{1}{n}$	à l'infini, en dehors du domaine	oui
$x^n$ sur $[0,1]$	$1$	en $x=1$, point du domaine	non
$nx{e}^{-nx}$ sur $[0,+\infty [$	$\frac{1}{e}$	en $x=\frac{1}{n}$, qui glisse vers $0$	non

Le critère est toujours le même — le sup tend-il vers $0$ ? — mais le diagnostic passe par la localisation du sup. Quand il est atteint en un point fixe du domaine (comme $x^n$ en $1$) ou en un point qui converge vers un point du domaine (comme la bosse glissante vers $0$), il faut retrancher un voisinage de ce point ; ici le sup s'échappe à l'infini en s'écrasant, et rien n'est à retrancher.

6. Ce que l'uniformité permet. Sur tout segment $[0,b]$, l'uniformité et la continuité des $u_n$ donnent ${\int }_0^b{u}_n\to 0$. Vérification directe, en écrivant $\frac{x}{1+nx}=\frac{1}{n}\left(1-\frac{1}{1+nx}\right)$ : ${\int }_0^b\frac{x}{1+nx}\mathrm{d}x=\frac{b}{n}-\frac{\ln (1+nb)}{n^2}\to 0$. En revanche, la suite des dérivées $u_n^{\prime }(x)=\frac{1}{(1+nx{)}^2}$ converge simplement vers $0$ sur $]0,+\infty [$ mais pas en $0$, où $u_n^{\prime }(0)=1$ : la convergence uniforme de $(u_n)$ ne dit rien de $(u_n^{\prime })$, et c'est bien pour cela que le théorème de dérivation porte sur la suite des dérivées, pas sur celle des fonctions.

Contrôle chiffré ($n=1000$, donc $\frac{1}{n}=10^{-3}$).

$x$	$u_{1000}(x)$
$10^5$	$9,99990\cdot 10^{-4}$
$10^6$	$9,999990\cdot 10^{-4}$
$10^7$	$9,9999990\cdot 10^{-4}$

Les valeurs montent vers $10^{-3}$ sans jamais l'atteindre, exactement comme la stricte croissance et le calcul de la limite le prévoyaient. Et $\Vert u_{1000}{\Vert }_{\infty }=10^{-3}$, $\Vert u_{10^6}{\Vert }_{\infty }=10^{-6}$ : la convergence uniforme est en $\frac{1}{n}$.

Acquis. Deux réflexes : majorer $|u_n(x)-u(x)|$ par une quantité indépendante de $x$ tendant vers $0$ (c'est la définition opérationnelle de l'uniformité), et, si l'on veut trancher dans l'autre sens, calculer le sup exact. Ici les deux routes donnent $\frac{1}{n}$.