Convergence uniforme de $x^n(1-x)$ sur $[0,1]$

Stratégie : la limite simple est nulle ; tout se joue sur ${\sup }_{[0,1]}|u_n|$. Ici $u_n$ est dérivable et s'annule aux deux bords, donc son maximum se calcule exactement — on ne majore pas, on résout.

1. Limite simple. Pour $x\in [0,1[$ : $x^n\to 0$ et $(1-x)$ est une constante, donc $u_n(x)\to 0$. Pour $x=1$ : $u_n(1)=0$ pour tout $n$. La suite $(u_n)$ converge simplement sur $[0,1]$ vers la fonction nulle. Noter au passage que la limite est ici continue, ce qui n'interdit rien mais n'oblige à rien non plus.

2. Le sup, exactement. Pour $n\ge 1$, $u_n$ est dérivable sur $[0,1]$ et $$u_n^{\prime }(x)=n{x}^{n-1}(1-x)-x^n=x^{n-1}(n-(n+1)x).$$ Sur $]0,1[$, le signe de $u_n^{\prime }$ est celui de $n-(n+1)x$ : positif pour $x<x_n$, négatif pour $x>x_n$, avec $$x_n=\frac{n}{n+1}.$$ Donc $u_n$ croît de $u_n(0)=0$ jusqu'en $x_n$, puis décroît jusqu'à $u_n(1)=0$ : le maximum est atteint en $x_n$ et $$\Vert u_n{\Vert }_{\infty ,[0,1]}=u_n(x_n)={\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n\cdot \frac{1}{n+1}=\frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}.$$

3. La limite de ce sup. Écrivons ${\left(\frac{n}{n+1}\right)}^n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{-n}=e^{-n\ln (1+1/n)}$. Comme $n\ln \left(1+\frac{1}{n}\right)\to 1$, on obtient ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{-n}\to e^{-1}$, d'où $$\Vert u_n{\Vert }_{\infty ,[0,1]}=\frac{1}{n+1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{-n}\sim \frac{e^{-1}}{n}\underset{n\to +\infty }{\to }0.$$

Conclusion : $(u_n)$ converge uniformément vers $0$ sur $[0,1]$ tout entier — pas seulement sur les segments $[0,a]$, $a<1$.

4. Le point délicat : la comparaison avec $x^n$. Pour $v_n(x)=x^n$ sur $[0,1]$, le sup vaut $v_n(1)=1$, qui ne tend pas vers $0$ : pas de convergence uniforme, et la limite simple est même discontinue en $1$. Le facteur $(1-x)$ ne modifie presque rien loin de $1$, mais il annule la fonction exactement là où $x^n$ résistait. Le maximum, chassé du bord, se déplace vers l'intérieur en $x_n=\frac{n}{n+1}\to 1$ et sa hauteur s'écrase en $\frac{1}{en}$ : c'est une bosse qui glisse vers le bord en s'aplatissant, alors que celle de $x^n$ glissait en gardant sa hauteur $1$.

5. Ce que l'uniformité achète. Les $u_n$ sont continues et la convergence est uniforme sur le segment $[0,1]$ : le théorème d'intégration sur un segment donne ${\int }_0^1{u}_n\to {\int }_0^{1}0=0$. Vérification directe : $${\int }_0^1{x}^n(1-x)\mathrm{d}x=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}⟶0.✓$$ Contraste à retenir avec l'exercice résolu de la bosse glissante $n^{2}x(1-x{)}^n$, où la convergence n'est que simple et où l'intégrale tend vers $1$ : c'est bien l'uniformité, et elle seule, qui autorise l'échange.

Contrôle chiffré. Valeurs exactes de $\Vert u_n{\Vert }_{\infty }=\frac{n^n}{(n+1{)}^{n+1}}$ comparées à l'équivalent annoncé $\frac{e^{-1}}{n}$ :

$n$	$x_n=\frac{n}{n+1}$	$\Vert u_n{\Vert }_{\infty }$	$e^{-1}/n$	rapport
$10$	$0,909091$	$3,504939\cdot 10^{-2}$	$3,678794\cdot 10^{-2}$	$0,95274$
$100$	$0,990099$	$3,660507\cdot 10^{-3}$	$3,678794\cdot 10^{-3}$	$0,99503$
$1000$	$0,999001$	$3,676956\cdot 10^{-4}$	$3,678794\cdot 10^{-4}$	$0,99950$
$10^4$	$0,999900$	$3,678610\cdot 10^{-5}$	$3,678794\cdot 10^{-5}$	$0,99995$

Le rapport tend vers $1$, et se comporte visiblement comme $1-\frac{1}{2n}$ ($0,95$ en $n=10$, $0,995$ en $n=100$, $0,9995$ en $n=1000$) : l'équivalent est correct, et le développement suivant l'est aussi.

Acquis. Quand le sup se calcule (fonction dérivable, extrema explicites), on le calcule : c'est la seule façon de trancher entre « pas de convergence uniforme » et « convergence uniforme sur tout l'intervalle ». Et un facteur qui s'annule au point critique peut transformer un contre-exemple célèbre en exemple sage.