Dérivation terme à terme

Convergence simple sur $]0,\infty [$ : $\frac{e^{-nx}}{n}\le e^{-nx}$, géométrique. Série dérivée : $\sum \left(-e^{-nx}\right)$, qui converge normalement sur tout $[a,+\infty [$, $a>0$ ($e^{-nx}\le e^{-na}$, géométrique convergente). Le théorème de dérivation terme à terme (version séries, sur les segments de $]0,\infty [$) donne $F\in {\mathcal{C}}^1$ et $$F^{\prime }(x)=-\sum _{n=1}^{+\infty }{e}^{-nx}=-\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}.$$ On reconnaît $F^{\prime }(x)=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln \left(1-e^{-x}\right)$ ; comme $F(x)\to 0$ quand $x\to +\infty$ (convergence normale sur $[1,\infty [$ et double limite) et $\ln (1-e^{-x})\to 0$ aussi : $$F(x)=-\ln \left(1-e^{-x}\right).$$ (Construction explicite d'une fonction par série, régularité par dérivation terme à terme, identification par les limites : le mode opératoire complet.)