Étude complète de la fonction Zêta de Riemann

1. Régularité ${\mathcal{C}}^{\infty }$ : Posons $u_n(s)=\frac{1}{n^s}={\mathrm{e}}^{-s\ln n}$ pour $n\ge 1$. Chaque fonction $u_n$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]1,+\infty [$, et pour tout $k\in \mathbb{N}$ : $$u_n^{(k)}(s)=(-1{)}^k\frac{(\ln n{)}^k}{n^s}.$$ Soit $a>1$. Pour tout $s\in [a,+\infty [$ et $n\ge 1$ : $$|u_n^{(k)}(s)|=\frac{(\ln n{)}^k}{n^s}\le \frac{(\ln n{)}^k}{n^a}.$$ Comme $a>1$, en choisissant $\alpha \in ]1,a[$, par croissances comparées $\frac{(\ln n{)}^k}{n^a}=o\left(\frac{1}{n^{\alpha }}\right)$, donc la série numérique $\sum \frac{(\ln n{)}^k}{n^a}$ converge. Ainsi, la série des dérivées $k$-ièmes $\sum u_n^{(k)}$ converge normalement sur tout intervalle $[a,+\infty [$ pour tout $a>1$. Par le théorème de dérivation terme à terme, $\zeta$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]1,+\infty [$ et : $$\forall k\in \mathbb{N},{\zeta }^{(k)}(s)=\sum _{n=1}^{+\infty }(-1{)}^k\frac{(\ln n{)}^k}{n^s}.$$

2. Équivalent en $1^{+}$ par comparaison série-intégrale : Pour $s>1$, la fonction $t\mapsto \frac{1}{t^s}$ est continue et décroissante sur $[1,+\infty [$. Pour tout $n\ge 1$ : $${\int }_n^{n+1}\frac{\mathrm{d}t}{t^s}\le \frac{1}{n^s}\le {\int }_{n-1}^n\frac{\mathrm{d}t}{t^s}(n\ge 2).$$ En sommant pour $n\ge 1$ : $${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^s}\le \zeta (s)\le 1+{\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^s}.$$ Or ${\int }_1^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{t^s}={\left[\frac{t^{1-s}}{1-s}\right]}_1^{+\infty }=\frac{1}{s-1}$. Ainsi : $$\frac{1}{s-1}\le \zeta (s)\le 1+\frac{1}{s-1}⟹\zeta (s){\sim }_{s\to 1^{+}}\frac{1}{s-1}.$$

3. Limite en $+\infty$ par la double limite : Pour tout $n\ge 2$ et $s\ge 2$, $|u_n(s)|\le \frac{1}{n^2}$ (série sommable indépendante de $s$). De plus, ${\lim }_{s\to +\infty }\frac{1}{n^s}=0$ pour tout $n\ge 2$, et $u_1(s)=1$. Par le théorème de la double limite : $$\underset{s\to +\infty }{\lim }\zeta (s)=1+\sum _{n=2}^{+\infty }0=1.$$