Intégrer terme à terme sur un segment : la constante de Catalan

La stratégie. Pour intégrer une série terme à terme sur un segment, le théorème du cours demande la convergence uniforme sur ce segment, normale ou non. Ici la convergence normale échoue ; l'uniforme tient, et on la prouve par un reste explicite, obtenu en intégrant une somme géométrique finie. L'intégrale de la somme est alors la somme des intégrales.

1) Pas de convergence normale. Sur $[0,1]$, $|u_n(x)|=\frac{x^{2n}}{2n+1}$ est croissante en $x$ : sa borne supérieure vaut $\frac{1}{2n+1}$, atteinte en $x=1$. Or $\frac{1}{2n+1}\sim \frac{1}{2n}$, terme général positif d'une série divergente. La convergence n'est pas normale sur $[0,1]$.

2) Un reste explicite. Pour $t$ réel, la somme géométrique finie de raison $-t^2$, différente de $1$, vaut $$\sum _{k=0}^n(-t^2{)}^k=\frac{1-(-t^2{)}^{n+1}}{1+t^2},$$ ce qui s'écrit $$\frac{1}{1+t^2}=\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{t}^{2k}+(-1{)}^{n+1}\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}.$$ Toutes ces fonctions sont continues : intégrons de $0$ à $x$, pour $x\in ]0,1]$ : $$\arctan x=\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k{x}^{2k+1}}{2k+1}+(-1{)}^{n+1}{\int }_0^x\frac{t^{2n+2}}{1+t^2}\mathrm{d}t.$$ En divisant par $x>0$, on obtient exactement la formule annoncée. Majorons ce reste : $0\le \frac{t^{2n+2}}{1+t^2}\le t^{2n+2}$, donc $$\left|\frac{\arctan x}{x}-\sum _{k=0}^n{u}_k(x)\right|\le \frac{1}{x}{\int }_0^x{t}^{2n+2}\mathrm{d}t=\frac{x^{2n+2}}{2n+3}\le \frac{1}{2n+3}.$$ En $x=0$, seul $u_0(0)=1$ est non nul, et $\phi (0)-{\sum }_{k=0}^n{u}_k(0)=1-1=0$. Ainsi la borne supérieure sur $[0,1]$ de l'écart entre $\phi$ et la somme partielle est au plus $\frac{1}{2n+3}$, qui tend vers $0$ : la série converge uniformément sur $[0,1]$ vers $\phi$. Au passage, $\phi$ est continue sur $[0,1]$, comme limite uniforme de fonctions continues — ce qu'on savait : $\frac{\arctan x}{x}\to 1$ en $0$.

3) L'intégration terme à terme. Les $u_n$ sont continues sur le segment $[0,1]$ et la série y converge uniformément vers $\phi$ : le théorème d'intégration terme à terme sur un segment s'applique, la série des intégrales converge, et $${\int }_0^1\phi (x)\mathrm{d}x=\sum _{n\ge 0}{\int }_0^1\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{2n+1}\mathrm{d}x=\sum _{n\ge 0}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^2}=G.$$ On a même l'erreur : en intégrant la majoration du reste, $\left|G-{\sum }_{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{(2k+1{)}^2}\right|\le {\int }_0^1\frac{x^{2n+2}}{2n+3}\mathrm{d}x=\frac{1}{(2n+3{)}^2}$.

4) Le changement de variable. L'application $\theta \mapsto \tan \theta$ est une bijection de classe ${\mathcal{C}}^1$ de $\left[0,\frac{\pi }{4}\right]$ sur $[0,1]$, de dérivée $1+{\tan }^2\theta$. La fonction $\phi$ étant continue sur $[0,1]$, $${\int }_0^1\phi (x)\mathrm{d}x={\int }_0^{\pi /4}\phi (\tan \theta )(1+{\tan }^2\theta )\mathrm{d}\theta .$$ Pour $\theta \in \left]0,\frac{\pi }{4}\right]$, $\phi (\tan \theta )(1+{\tan }^2\theta )=\frac{\theta }{\tan \theta }\cdot \frac{1}{{\cos }^2\theta }=\frac{\theta }{\sin \theta \cos \theta }=\frac{2\theta }{\sin (2\theta )}$, et les deux membres valent $1$ en $\theta =0$ par continuité. Le changement de variable $u=2\theta$ donne alors $$G={\int }_0^{\pi /4}\frac{2\theta }{\sin (2\theta )}\mathrm{d}\theta =\frac{1}{2}{\int }_0^{\pi /2}\frac{u}{\sin u}\mathrm{d}u,$$ la fonction $u\mapsto \frac{u}{\sin u}$ étant prolongée par $1$ en $0$. Donc ${\int }_0^{\pi /2}\frac{u}{\sin u}\mathrm{d}u=2G$.

5) Pourquoi la convergence simple ne suffit pas. Le théorème exige l'uniformité ; sous la seule convergence simple, la limite des intégrales peut différer de l'intégrale de la limite — c'est la bosse glissante de l'exercice 6. Ce qui a fonctionné ici est une majoration du reste indépendante de $x$. Elle ne pouvait pas venir d'une domination terme à terme par une série convergente, puisque la question 1 l'interdit : au point $x=1$, la série $\sum \frac{(-1{)}^n}{2n+1}$ converge sans converger absolument. C'est la compensation des signes, capturée exactement par le reste intégral, qui donne l'uniformité.

Contrôle numérique. $G=0,9159656$. La somme des cinq premiers termes, $1-\frac{1}{9}+\frac{1}{25}-\frac{1}{49}+\frac{1}{81}=0,9208264$, s'écarte de $G$ de $4,9\cdot 10^{-3}$, sous la borne $\frac{1}{11^2}=8,3\cdot 10^{-3}$. Une quadrature numérique directe donne ${\int }_0^1\frac{\arctan x}{x}\mathrm{d}x=0,9159656$ et ${\int }_0^{\pi /2}\frac{u}{\sin u}\mathrm{d}u=1,8319312=2G$.

Ce que l'exercice installe. Pour intégrer une série terme à terme sur un segment, la convergence uniforme suffit, normale ou non ; et quand la normale échoue, un reste explicite — une somme géométrique finie intégrée — prouve l'uniformité. C'est la méthode qui calcule des intégrales sans primitive : développer l'intégrande en série, puis intégrer terme à terme. Le TD 9 la reprendra sur un intervalle non borné, avec les théorèmes du chapitre d'intégration, pour l'intégrale de la loi de Stefan.