La bosse glissante de hauteur constante 1/e

Stratégie : le sup se calcule exactement (une dérivée, un point critique). Il vaut une constante indépendante de $n$ : cela suffit à interdire la convergence uniforme globale. Il reste à identifier le coupable — un seul point, $0$ — et à obtenir l'uniformité loin de lui.

On pose $u_n(x)=nx{e}^{-nx}$ sur $I=[0,+\infty [$, $n\ge 1$.

1. Limite simple. $u_n(0)=0$ pour tout $n$. Pour $x>0$ fixé, posons $t=nx\to +\infty$ : alors $u_n(x)=t{e}^{-t}\to 0$ (croissances comparées). $(u_n)$ converge simplement vers la fonction nulle sur $[0,+\infty [$.

2. Le sup sur $[0,+\infty [$. $u_n$ est dérivable et $$u_n^{\prime }(x)=n{e}^{-nx}-n^{2}x{e}^{-nx}=n{e}^{-nx}(1-nx),$$ positive sur $\left[0,\frac{1}{n}\right]$, négative après. Le maximum est donc atteint en $x=\frac{1}{n}$ et vaut $$u_n\left(\frac{1}{n}\right)=n\cdot \frac{1}{n}\cdot e^{-1}=\frac{1}{e}.$$ Ainsi $$\Vert u_n{\Vert }_{\infty ,[0,+\infty [}=\frac{1}{e}\approx 0,367879\text{pour tout }n,\text{donc }\Vert u_n{\Vert }_{\infty }\nrightarrow 0.$$ Il n'y a pas convergence uniforme sur $[0,+\infty [$. L'image est parlante : une bosse de hauteur constante $\frac{1}{e}$, dont l'abscisse $\frac{1}{n}$ glisse vers $0$ et dont la largeur s'écrase. La convergence simple ne la voit pas, parce qu'à $x>0$ fixé la bosse finit par passer à gauche de $x$ ; la convergence uniforme la voit, parce qu'elle regarde tous les $x$ en même temps.

3. Convergence uniforme sur $[a,+\infty [$, $a>0$. Fixons $a>0$. Dès que $n\ge \frac{1}{a}$, on a $\frac{1}{n}\le a$ : le point critique est sorti de l'intervalle, et $u_n$ y est décroissante. Donc, pour $n\ge \frac{1}{a}$, $$\underset{x\ge a}{\sup }{u}_n(x)=u_n(a)=na{e}^{-na}\underset{n\to +\infty }{\to }0$$ (encore $t{e}^{-t}\to 0$, avec $t=na\to +\infty$). $(u_n)$ converge uniformément vers $0$ sur tout $[a,+\infty [$ avec $a>0$.

4. Le point délicat : l'uniformité n'est pas locale en $0$. Contrairement à la continuité, on ne recolle pas : la convergence n'est uniforme sur aucun voisinage de $0$ dans $I$. En effet, pour tout $b>0$ et tout $n\ge \frac{1}{b}$, le point $\frac{1}{n}$ appartient à $]0,b]$, donc $$\underset{]0,b]}{\sup }{u}_n\ge u_n\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{e}\nrightarrow 0.$$ Il n'y a donc pas non plus convergence uniforme sur $]0,+\infty [$ (intervalle ouvert), bien que la limite simple y soit parfaitement continue : la continuité de la limite ne prouve jamais l'uniformité, elle la rend seulement possible.

5. Une lecture par l'intégrale — et une mise en garde. L'absence d'uniformité sur $[0,1]$ n'empêche pas l'échange limite/intégrale de fonctionner ici. Avec $t=nx$ : $${\int }_0^{1}nx{e}^{-nx}\mathrm{d}x=\frac{1}{n}{\int }_0^{n}t{e}^{-t}\mathrm{d}t=\frac{1}{n}[1-(1+n)e^{-n}]⟶0={\int }_0^{1}0.$$ La convergence uniforme est une condition suffisante de l'échange, jamais nécessaire : ici la bosse a beau garder sa hauteur, elle perd sa largeur assez vite pour que l'aire s'annule. (Comparer à $n^{2}x(1-x{)}^n$, où l'aire tend vers $1$ : c'est la hauteur qui y explose.)

Contrôle chiffré.

$n$	$\Vert u_n{\Vert }_{\infty ,[0,+\infty [}$	${\sup }_{[1/2,+\infty [}{u}_n=\frac{n}{2}{e}^{-n/2}$
$1$	$0,367879$	$3,033\cdot 10^{-1}$
$10$	$0,367879$	$3,369\cdot 10^{-2}$
$50$	$0,367879$	$3,472\cdot 10^{-10}$
$100$	$0,367879$	$9,644\cdot 10^{-21}$

La colonne du milieu est constante — aucune convergence uniforme globale ; celle de droite s'effondre géométriquement — convergence uniforme sur $[\frac{1}{2},+\infty [$, et même très rapide. Les deux colonnes décrivent la même suite de fonctions : c'est l'intervalle, et lui seul, qui fait la différence.

Acquis. Le schéma « pas d'uniformité globale, uniformité sur tout intervalle évitant le point critique » est le scénario le plus fréquent. Le repérer, c'est calculer le sup et regarder où il est atteint : si le point critique fuit vers un bord de l'intervalle, on retranche un voisinage de ce bord.