mathématiques (PC) · Chapitre 7 · Exercice de TD

La fonction $ζ$ , de bout en bout

Suites et Séries de Fonctions · C. Théorème de la double limite et comportement aux bornes · niveau 2

Énoncé

On pose $ζ (x) = \sum_{n \geq 1} n^{- x}$ .

1) Montrer que la série converge normalement sur $[a, + \infty [$ pour tout $a > 1$ , mais pas sur $] 1, + \infty [$ .

2) En déduire que $ζ$ est continue, puis de classe $C^{\infty}$ sur $] 1, + \infty [$ , avec $ζ^{(k)} (x) = \sum_{n \geq 2} \frac{( - l n n ) ^{k}}{n ^{x}}$ pour $k \geq 1$ . En déduire que $ζ$ est strictement décroissante et convexe.

3) Par le théorème de la double limite, montrer que $ζ (x) \to 1$ quand $x \to + \infty$ , puis que $ζ (x) - 1 \sim 2^{- x}$ .

4) Par comparaison série-intégrale, établir $\frac{1}{x - 1} \leq ζ (x) \leq 1 + \frac{1}{x - 1}$ pour $x > 1$ ; en déduire un équivalent de $ζ$ en $1^{+}$ et tracer l'allure du graphe.

Corrigé de la question 1

La stratégie. L'étude d'une fonction définie par une série suit un programme fixe : convergence normale sur des intervalles adaptés, continuité et régularité par localité, variations par les séries dérivées, limites aux bornes. Chaque étape a son théorème ; la seule vraie décision est le choix des intervalles.

Posons $u_{n} (x) = n^{- x} = e^{- x l n n}$ pour $n \geq 1$ : chaque $u_{n}$ est de classe $C^{\infty}$ sur $R$ , avec $u_{n}^{(k)} (x) = (- ln n)^{k} n^{- x}$ .

1) Où la convergence est normale. Pour $a > 1$ et $x \geq a$ : $0 < n^{- x} \leq n^{- a}$ , et $\sum n^{- a}$ est une série de Riemann convergente. La borne supérieure de $u_{n}$ sur $[a, + \infty [$ vaut $n^{- a}$ : la convergence est normale sur $[a, + \infty [$ .

Sur $] 1, + \infty [$ , la borne supérieure de $n^{- x}$ vaut $\frac{1}{n}$ — elle n'est pas atteinte, c'est la limite quand $x \to 1^{+}$ — et $\sum \frac{1}{n}$ diverge : pas de convergence normale sur $] 1, + \infty [$ . On n'en a pas besoin : la continuité et la dérivabilité sont des propriétés locales, et tout $x_{0} > 1$ est intérieur à un intervalle $[a, + \infty [$ avec $1 < a < x_{0}$ ; il suffit de prendre $a = \frac{1 + x _{0}}{2}$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour la classe $C^{\infty}$ , il faut la convergence uniforme des séries dérivées. Mais sur $] 1, + \infty [$ , la borne supérieure de $\frac{( l n n ) ^{k}}{n ^{x}}$ vaut $\frac{( l n n ) ^{k}}{n}$ , qui n'est pas sommable. Donc ça ne marche pas ?

Comme au 1), tu n'as pas à travailler sur $] 1, + \infty [$ entier : la régularité est une propriété locale. Sur $[a, + \infty [$ avec $a > 1$ , quelle majoration de $\frac{( l n n ) ^{k}}{n ^{x}}$ obtiens-tu, et est-elle sommable ?

Élève

J'obtiens $\frac{( l n n ) ^{k}}{n ^{a}}$ . Le logarithme me gêne : ce n'est pas exactement le terme d'une série de Riemann.

Peux-tu intercaler un exposant $b$ strictement entre $1$ et $a$ pour absorber $(ln n)^{k}$ par croissances comparées ? Une fois la régularité acquise, que disent les signes des termes de $ζ^{'}$ et $ζ^{''}$ sur les variations et la convexité ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →

La fonction ζ, de bout en bout

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

La fonction $ζ$ , de bout en bout