La masse se concentre : une approximation de Dirac

La stratégie. Aucun théorème ne s'applique : la suite n'est même pas bornée. On utilise la structure du problème. La densité $n{t}^n$ a une masse totale $\frac{n}{n+1}$, qui tend vers $1$, et elle se concentre près de $t=1$. On coupe donc l'intégrale là où la masse s'accumule : près de $1$, $\phi$ est proche de $\phi (1)$ par continuité ; loin de $1$, $t^n$ est géométriquement petit.

1) Aucun théorème. Pour $t\in [0,1[$, $n{t}^n\to 0$ par croissances comparées, donc $f_n(t)\to 0$. En $t=1$, $f_n(1)=\frac{n}{2}\to +\infty$. La suite n'a pas de limite réelle au point $1$, et $\Vert f_n{\Vert }_{\infty }=\frac{n}{2}$ puisque $f_n$ est croissante sur $[0,1]$ : aucune convergence uniforme, le théorème ne s'applique pas — pas même sur $[0,1[$, où la borne supérieure de $f_n$ vaut encore $\frac{n}{2}$. Et pourtant les intégrales ont une limite, qui n'est pas $0$.

2) La valeur ponctuelle. La masse. $n{\int }_0^1{t}^n\mathrm{d}t=\frac{n}{n+1}\to 1$. Écrivons $$n{\int }_0^1{t}^n\phi (t)\mathrm{d}t=\phi (1)\frac{n}{n+1}+n{\int }_0^1{t}^n(\phi (t)-\phi (1))\mathrm{d}t.$$ Il suffit de montrer que la seconde intégrale, notée $D_n$, tend vers $0$.

Les choix, dans cet ordre. Soit $\eta >0$. La fonction $\phi$ est continue en $1$ : il existe $\delta \in ]0,1[$ tel que $|\phi (t)-\phi (1)|\le \eta$ pour tout $t\in [1-\delta ,1]$. Continue sur le segment $[0,1]$, elle y est bornée : notons $M$ la borne supérieure de $|\phi |$, de sorte que $|\phi (t)-\phi (1)|\le 2M$ partout.

La coupure. Loin de $1$ : $$\left|n{\int }_0^{1-\delta }{t}^n(\phi (t)-\phi (1))\mathrm{d}t\right|\le 2Mn{\int }_0^{1-\delta }{t}^n\mathrm{d}t=2M\frac{n(1-\delta {)}^{n+1}}{n+1}\le 2M(1-\delta {)}^{n+1}.$$ Près de $1$ : $$\left|n{\int }_{1-\delta }^1{t}^n(\phi (t)-\phi (1))\mathrm{d}t\right|\le \eta n{\int }_{1-\delta }^1{t}^n\mathrm{d}t\le \eta \frac{n}{n+1}\le \eta .$$ Comme $(1-\delta {)}^{n+1}\to 0$, il existe un rang $N$ à partir duquel $2M(1-\delta {)}^{n+1}\le \eta$. Pour $n\ge N$, $|D_n|\le 2\eta$. Ceci valant pour tout $\eta >0$, $D_n\to 0$, et $$n{\int }_0^1{t}^n\phi (t)\mathrm{d}t⟶\phi (1).$$

Le point délicat. L'ordre des choix : $\eta$ d'abord, puis $\delta$ par la continuité en $1$, puis $N$, qui dépend de $\delta$. Le seuil de coupure est fixé avant de faire tendre $n$ vers l'infini ; c'est ce qui rend le premier morceau géométriquement petit.

3) L'application, et l'interprétation. La fonction $\phi :t\mapsto \frac{1}{1+t}$ est continue sur $[0,1]$ et $\phi (1)=\frac{1}{2}$ : donc $n{\int }_0^1\frac{t^n}{1+t}\mathrm{d}t\to \frac{1}{2}$.

Un cran de plus. Une intégration par parties donne ${\int }_0^1\frac{t^n}{1+t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2(n+1)}+\frac{1}{n+1}{\int }_0^1\frac{t^{n+1}}{(1+t{)}^2}\mathrm{d}t$, et la question 2, appliquée à $t\mapsto \frac{1}{(1+t{)}^2}$, dit que la dernière intégrale est équivalente à $\frac{1}{4(n+1)}$. On en tire $$n{\int }_0^1\frac{t^n}{1+t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}-\frac{1}{4n}+o\left(\frac{1}{n}\right).$$

L'interprétation. La densité $t\mapsto n{t}^n$ a une masse totale qui tend vers $1$, et cette masse se concentre au point $t=1$ : intégrer contre elle une fonction continue quelconque donne, à la limite, la valeur de cette fonction au point $1$. La limite des intégrales n'est pas l'intégrale de la limite, qui vaudrait $0$ : c'est une valeur ponctuelle. C'est exactement l'impulsion de Dirac des physiciens, définie non comme une fonction mais par son action : intégrée contre une fonction continue, elle rend la valeur en un point.

Contrôle numérique. Pour $n=10$, $n{\int }_0^1\frac{t^n}{1+t}\mathrm{d}t=0,475123$ ; pour $n=100$, $0,497500$ ; pour $n=10^4$, $0,499975$, soit exactement $\frac{1}{2}-\frac{1}{4n}$ au dixième de millionième près ; pour $n=10^9$, $0,49999999975$.

Ce que l'exercice installe. Quand aucun théorème ne s'applique, on coupe l'intégrale : près du point où la masse s'accumule, la continuité ; ailleurs, la petitesse géométrique ; et l'on choisit les seuils dans le bon ordre. La limite d'intégrales peut être une valeur ponctuelle : c'est l'approximation de Dirac, qu'on retrouvera au TD 9 avec le noyau de la chaleur, qui se concentre en un point quand le temps tend vers $0$.