Le principe de superposition : oscillateur forcé par une excitation périodique

La stratégie. Tout repose sur une majoration : le facteur $\frac{1}{{\omega }^2-n^2}$ décroît comme $\frac{1}{n^2}$, ce qui compense exactement le facteur $n^2$ qu'apportent deux dérivations. La série des dérivées secondes converge alors normalement, et le théorème de dérivation terme à terme, dans sa version ${\mathcal{C}}^2$, autorise à dériver deux fois sous le signe somme. L'unicité, elle, relève de l'équation différentielle de première année.

Notons $c_n=\frac{b_n}{{\omega }^2-n^2}$, bien défini puisque $\omega$ n'est pas entier, donc ${\omega }^2\ne n^2$.

1) L'excitation. Pour tout réel $t$, $|b_n\cos (nt)|\le |b_n|$, majorant indépendant de $t$ et terme général d'une série convergente : la série converge normalement sur $\mathbb{R}$, ses termes sont continus, donc $f$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$. Chaque somme partielle est $2\pi$-périodique ; en passant à la limite dans l'égalité des sommes partielles en $t$ et en $t+2\pi$, $f$ est $2\pi$-périodique.

2) La réponse est plus régulière que l'excitation. La majoration clé. Pour $n\ge 2\omega$, on a ${\omega }^2\le \frac{n^2}{4}$, donc $n^2-{\omega }^2\ge \frac{3n^2}{4}$ et $$n^2|c_n|=\frac{n^2|b_n|}{n^2-{\omega }^2}\le \frac{4}{3}|b_n|.$$ Les indices $n<2\omega$ sont en nombre fini. Par comparaison, la série $\sum n^2|c_n|$ converge, et a fortiori $\sum n|c_n|$ et $\sum |c_n|$, puisque $|c_n|\le n|c_n|\le n^2|c_n|$ pour $n\ge 1$.

La dérivation. Posons $y_n(t)=c_n\cos (nt)$, de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$, avec $y_n^{\prime }(t)=-n{c}_n\sin (nt)$ et $y_n^{\prime \prime }(t)=-n^2{c}_n\cos (nt)$. Les bornes supérieures sur $\mathbb{R}$ de $|y_n|$, $|y_n^{\prime }|$ et $|y_n^{\prime \prime }|$ sont au plus $|c_n|$, $n|c_n|$ et $n^2|c_n|$ : les trois séries convergent normalement sur $\mathbb{R}$. Le théorème de dérivation terme à terme, dans son extension à la classe ${\mathcal{C}}^2$ — convergence simple de $\sum y_n$ et de $\sum y_n^{\prime }$, convergence uniforme de $\sum y_n^{\prime \prime }$ —, donne : $y$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur $\mathbb{R}$, et $y^{\prime \prime }={\sum }_{n\ge 1}-n^2{c}_n\cos (nt)$. Par linéarité de la somme de séries convergentes, $$y^{\prime \prime }(t)+{\omega }^{2}y(t)=\sum _{n\ge 1}({\omega }^2-n^2)c_n\cos (nt)=\sum _{n\ge 1}{b}_n\cos (nt)=f(t).$$ Le gain de deux dérivées. Le facteur $\frac{1}{{\omega }^2-n^2}$, équivalent à $-\frac{1}{n^2}$, compense exactement le facteur $n^2$ que produisent deux dérivations : la réponse a deux dérivées de plus que l'excitation. Chaque facteur $\frac{1}{n^2}$ achète deux dérivées.

3) L'unicité de la réponse périodique. La fonction $y$ est $2\pi$-périodique, comme chacun de ses termes, et solution. Soit $z$ une solution $2\pi$-périodique. La différence $h=z-y$ vérifie $h^{\prime \prime }+{\omega }^{2}h=0$ : par le cours de première année sur les équations linéaires du second ordre à coefficients constants, il existe $A$ et $B$ réels tels que $h(t)=A\cos (\omega t)+B\sin (\omega t)$. La fonction $h$ est $2\pi$-périodique, et sa dérivée aussi (on dérive l'égalité $h(t+2\pi )=h(t)$). En particulier $h(2\pi )=h(0)$ et $h^{\prime }(2\pi )=h^{\prime }(0)$. Notons $p=\cos (2\pi \omega )$ et $q=\sin (2\pi \omega )$ ; comme $h(0)=A$ et $h^{\prime }(0)=B\omega$, ces deux égalités s'écrivent, après division de la seconde par $\omega >0$, $$\{\begin{array}{l}(p-1)A+qB=0\\ -qA+(p-1)B=0\end{array}$$ Le déterminant de ce système vaut $(p-1{)}^2+q^2=2(1-\cos (2\pi \omega ))$, strictement positif parce que $\omega$ n'est pas entier : $\cos (2\pi \omega )=1$ si et seulement si $\omega \in \mathbb{Z}$. Donc $A=B=0$, $h=0$ et $z=y$. La réponse $2\pi$-périodique est unique, et c'est $y$.

4) La résonance, lue sur un dénominateur. Avec ${\omega }^2=8,7025$ : $$c_1=\frac{1}{8,7025-1}=0,1298,c_2=\frac{1/4}{8,7025-4}=0,0532,$$ $$c_3=\frac{1/9}{8,7025-9}=-0,3735.$$ Les harmoniques de l'excitation décroissent, dans les rapports $1$, $\frac{1}{4}$, $\frac{1}{9}$ ; ceux de la réponse, non : le troisième est le plus grand, près de trois fois le premier. C'est la résonance : la pulsation propre $\omega =2,95$ est voisine de $3$, et le dénominateur ${\omega }^2-9=-0,2975$ est petit. Le signe moins traduit l'opposition de phase : l'harmonique $3$ est forcé à une pulsation supérieure à la pulsation propre. Les suivants retombent vite : $c_4=-0,0086$, $c_5=-0,0025$. C'est aussi pourquoi l'on a exclu $\omega$ entier : le dénominateur s'annulerait pour $n=\omega$.

5) Si les coefficients sont seulement bornés. Supposons $|b_n|\le M$ pour tout $n$. Pour $n\ge 2\omega$, $|c_n|\le \frac{4M}{3n^2}$ : la série qui définit $y$ converge encore normalement sur $\mathbb{R}$, et $y$ est continue et $2\pi$-périodique. Mais la série des dérivées a des termes majorés seulement par $n|c_n|\le \frac{4M}{3n}$, dont la série diverge : le raisonnement ne garantit plus que la continuité de $y$, ni la classe ${\mathcal{C}}^1$, ni a fortiori la classe ${\mathcal{C}}^2$. Quant à l'excitation, elle peut ne plus être définie : pour $b_n=1$, la série $\sum \cos (nt)$ diverge grossièrement en $t=0$. La décroissance des coefficients mesure la régularité, et le théorème de dérivation ne transfère que ce qu'elle permet.

Contrôle numérique. Les amplitudes calculées ci-dessus, à quatre chiffres : $0,1298$ ; $0,0532$ ; $-0,3735$ ; puis $-0,0086$ et $-0,0025$.

Ce que l'exercice installe. La dérivation terme à terme justifie le principe de superposition : la réponse d'un système linéaire à une somme d'harmoniques est la somme des réponses, dès que la série des dérivées secondes converge uniformément. Et la décroissance des coefficients mesure la régularité : chaque facteur $\frac{1}{n^2}$ achète deux dérivées. En physique, c'est l'oscillateur mécanique ou le circuit RLC soumis à une tension périodique non sinusoïdale : l'harmonique le plus proche de la pulsation propre domine la réponse — c'est ainsi qu'un filtre sélectionne un harmonique.