Normale, ou seulement uniforme ?

La stratégie. La convergence normale porte sur la série des nombres $\Vert u_n{\Vert }_{\infty }={\sup }_x|u_n(x)|$ : c'est la borne supérieure de chaque terme. La convergence uniforme porte sur ${\sup }_x|R_N(x)|$ : c'est la borne supérieure du reste. La première se prouve par une étude de fonction à $n$ fixé ; quand elle échoue, la seconde se prouve par une majoration du reste — ici, celle que fournit le théorème spécial des séries alternées.

1) Une convergence normale sur $\mathbb{R}$ tout entier. Posons $u_n(x)=\frac{x}{n(1+n{x}^2)}$, continue sur $\mathbb{R}$ puisque le dénominateur est au moins égal à $n>0$, et impaire. Pour $x\ge 0$, étudions ${\phi }_n(x)=\frac{x}{1+n{x}^2}$ : $${\phi }_n^{\prime }(x)=\frac{(1+n{x}^2)-2n{x}^2}{(1+n{x}^2{)}^2}=\frac{1-n{x}^2}{(1+n{x}^2{)}^2},$$ positive sur $\left[0,\frac{1}{\sqrt{n}}\right]$ et négative ensuite. Le maximum sur $[0,+\infty [$ est atteint en $\frac{1}{\sqrt{n}}$ et vaut $\frac{1/\sqrt{n}}{2}=\frac{1}{2\sqrt{n}}$. Par imparité, $$\Vert u_n{\Vert }_{\infty }=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{2\sqrt{n}}=\frac{1}{2n^{3/2}}.$$ (Sans dériver : $(1-\sqrt{n}|x|{)}^2\ge 0$ donne $1+n{x}^2\ge 2\sqrt{n}|x|$, d'où la même borne, atteinte au cas d'égalité $\sqrt{n}|x|=1$.)

La série $\sum \frac{1}{2n^{3/2}}$ converge (série de Riemann d'exposant $\frac{3}{2}>1$) : la série de fonctions converge normalement sur $\mathbb{R}$, donc uniformément ; ses termes sont continus, donc sa somme $f$ est continue sur $\mathbb{R}$.

La limite en $+\infty$. La convergence est uniforme sur $[0,+\infty [$, et chaque terme a une limite en $+\infty$ : $u_n(x)\sim \frac{1}{n^{2}x}$, qui tend vers $0$. Le théorème de la double limite donne $f(x)\to {\sum }_{n\ge 1}0=0$ ; par imparité, $f(x)\to 0$ en $-\infty$ aussi.

Le point délicat. Les deux majorations naïves échouent. Minorer le dénominateur par $1$ donne $\frac{|x|}{n}$, non borné à l'infini ; le minorer par $n{x}^2$ donne $\frac{1}{n^2|x|}$, qui explose en $0$. Chacune jette le terme du dénominateur qui domine là où elle échoue ; l'étude à $n$ fixé, ou l'inégalité arithmético-géométrique, garde les deux.

2) Le reste d'une série alternée. Fixons $x\ge 0$. La suite ${\left(\frac{1}{n+x}\right)}_{n\ge 1}$ est positive, décroissante et de limite nulle : le théorème spécial des séries alternées s'applique. Il donne la convergence de la série, et surtout la majoration du reste par la valeur absolue de son premier terme : $$|R_N(x)|=\left|\sum _{n=N+1}^{+\infty }\frac{(-1{)}^n}{n+x}\right|\le \frac{1}{N+1+x}\le \frac{1}{N+1}.$$ Le majorant $\frac{1}{N+1}$ ne dépend pas de $x$ : ${\sup }_{x\ge 0}|R_N(x)|\le \frac{1}{N+1}$, qui tend vers $0$. La convergence est uniforme sur $[0,+\infty [$.

3) Aucune convergence normale. Soit $[a,b]$ avec $0\le a<b$. La fonction $x\mapsto \frac{1}{n+x}$ est décroissante, donc la borne supérieure de $\left|\frac{(-1{)}^n}{n+x}\right|$ sur $[a,b]$ vaut $\frac{1}{n+a}$. Or $\frac{1}{n+a}\sim \frac{1}{n}$, terme général positif d'une série divergente : $\sum \frac{1}{n+a}$ diverge. La convergence n'est normale sur aucun segment, ni a fortiori sur $[0,+\infty [$.

4) La somme. Chaque terme est continu sur $[0,+\infty [$ et la convergence y est uniforme : $S$ est continue sur $[0,+\infty [$.

L'encadrement. Le théorème spécial donne aussi le signe du reste : celui de son premier terme. Écrivons $S(x)=-\frac{1}{1+x}+R_1(x)$, où $R_1(x)={\sum }_{n\ge 2}\frac{(-1{)}^n}{n+x}$ a le signe de $\frac{1}{2+x}$, positif, et vérifie $|R_1(x)|\le \frac{1}{2+x}$. Donc $0\le R_1(x)\le \frac{1}{2+x}$, c'est-à-dire $$-\frac{1}{1+x}\le S(x)\le -\frac{1}{1+x}+\frac{1}{2+x}=-\frac{1}{(1+x)(2+x)}.$$ Les deux bornes tendent vers $0$ en $+\infty$ : par encadrement, $S(x)\to 0$. Le théorème de la double limite donnait la même conclusion, la convergence étant uniforme sur $[0,+\infty [$ et chaque terme tendant vers $0$ ; l'encadrement dit en plus que $S$ est négative.

5) Deux bornes supérieures différentes. La convergence normale contrôle ${\sum }_n{\sup }_x|u_n(x)|$ : elle majore chaque terme en oubliant son signe, et ramène tout à une série numérique à termes positifs. La convergence uniforme contrôle ${\sup }_x|R_N(x)|$ : elle regarde le reste, où les signes alternés se compensent deux à deux. Normale entraîne uniforme ; la réciproque est fausse, et les séries alternées sont le territoire naturel de l'uniforme sans la normale.

Contrôle numérique. $S(0)=-\ln 2=-0,693147$. Avec $N=100$, l'écart entre $S(x)$ et la somme partielle vaut $4,98\cdot 10^{-3}$ en $x=0$ et $4,52\cdot 10^{-3}$ en $x=10$ : la borne $\frac{1}{101}=9,90\cdot 10^{-3}$ tient avec le même rang pour tous les $x$, c'est ce que veut dire l'uniformité. La somme des bornes supérieures des cent premiers termes vaut déjà $5,187$, et croît sans limite. Pour la première série, $\sum \frac{1}{2n^{3/2}}=1,3062$ majore $|f|$ sur $\mathbb{R}$.

Ce que l'exercice installe. Devant une série de fonctions, on tente d'abord la convergence normale — une étude de fonction à $n$ fixé, ou une inégalité bien choisie ; si elle échoue et que le terme alterne, on majore le reste. Deux bornes supérieures, deux outils. Le théorème spécial des séries alternées n'est pas qu'un critère de convergence : sa majoration du reste est un outil d'uniformité.