Pourquoi le théorème de dérivation porte sur les dérivées

La stratégie. Un exemple, puis le mécanisme. L'exemple montre que la convergence uniforme d'une suite ne dit rien de ses pentes. Le mécanisme — écrire $f_n$ comme une primitive de $f_n^{\prime }$ — montre pourquoi c'est l'uniformité des dérivées qu'il faut exiger, et pourquoi une seule valeur de $f_n$ suffit.

1) Uniformément proches, et pourtant. Pour tout réel $x$, en multipliant par la quantité conjuguée, $$u_n(x)-|x|=\frac{\left(x^2+\frac{1}{n^2}\right)-x^2}{\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}+|x|}=\frac{1/n^2}{\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}+|x|}.$$ Le dénominateur est au moins égal à $\sqrt{1/n^2}=\frac{1}{n}$, donc $0\le u_n(x)-|x|\le \frac{1}{n}$, avec égalité en $x=0$ où $u_n(0)=\frac{1}{n}$. La borne supérieure vaut exactement $\frac{1}{n}$ : $(u_n)$ converge uniformément vers la valeur absolue sur $\mathbb{R}$.

Chaque $u_n$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ : c'est la composée de $x\mapsto x^2+\frac{1}{n^2}$, de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ à valeurs dans $\left[\frac{1}{n^2},+\infty \right[$, et de la racine carrée, de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $]0,+\infty [$. La limite, elle, a en $0$ une dérivée à gauche égale à $-1$ et une dérivée à droite égale à $1$ : elle n'est pas dérivable en $0$. La convergence uniforme n'a pas transmis la dérivabilité.

2) Les dérivées. Pour tout réel $x$, $$u_n^{\prime }(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+\frac{1}{n^2}}}=\frac{nx}{\sqrt{n^2{x}^2+1}}.$$ Limite simple. Pour $x>0$, $\frac{nx}{\sqrt{n^2{x}^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{1+1/(n^2{x}^2)}}\to 1$ ; pour $x<0$, par imparité, la limite vaut $-1$ ; en $x=0$, elle vaut $0$. La limite simple est la fonction signe $\sigma$, discontinue en $0$.

Pas d'uniformité près de $0$. Les $u_n^{\prime }$ sont continues et leur limite simple ne l'est pas en $0$ : si la convergence était uniforme sur un voisinage de $0$, la limite y serait continue. Le point mobile $x_n=\frac{1}{n}$ le montre aussi : $u_n^{\prime }\left(\frac{1}{n}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}$ pour tout $n$, alors que $\sigma \left(\frac{1}{n}\right)=1$ ; l'écart reste égal à $1-\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Uniformité sur $[c,+\infty [$. Pour $x\ge c>0$, $$0\le 1-u_n^{\prime }(x)=\frac{\sqrt{n^2{x}^2+1}-nx}{\sqrt{n^2{x}^2+1}}=\frac{1}{\sqrt{n^2{x}^2+1}\left(\sqrt{n^2{x}^2+1}+nx\right)}\le \frac{1}{2n^2{x}^2}\le \frac{1}{2n^2{c}^2}.$$ La convergence de $(u_n^{\prime })$ vers $1$ est uniforme sur $[c,+\infty [$ ; de même vers $-1$ sur $]-\infty ,-c]$. Comme $(u_n)$ converge simplement, le théorème de dérivation s'applique sur ces intervalles : la limite est de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur $]0,+\infty [$ et sur $]-\infty ,0[$, de dérivée $\sigma$ — ce qu'on savait de la valeur absolue. Le défaut est concentré en $0$, exactement là où l'uniformité des dérivées manque.

3) Le mécanisme. La fonction $g$ est continue sur $[a,b]$, comme limite uniforme des fonctions continues $f_n^{\prime }$. Chaque $f_n$ étant de classe ${\mathcal{C}}^1$, le théorème fondamental de l'analyse donne, pour tout $x\in [a,b]$, $f_n(x)=f_n(x_0)+{\int }_{x_0}^x{f}_n^{\prime }(t)\mathrm{d}t$. Donc $$f_n(x)-F(x)=(f_n(x_0)-\ell )+{\int }_{x_0}^x(f_n^{\prime }(t)-g(t))\mathrm{d}t,$$ et, puisque $|x-x_0|\le b-a$, $$|f_n(x)-F(x)|\le |f_n(x_0)-\ell |+(b-a)\Vert f_n^{\prime }-g{\Vert }_{\infty }.$$ Le majorant ne dépend pas de $x$ et tend vers $0$ : $(f_n)$ converge uniformément vers $F$ sur $[a,b]$. Enfin $F$ est la somme de la constante $\ell$ et de la primitive de $g$ qui s'annule en $x_0$ ; $g$ étant continue, $F$ est de classe ${\mathcal{C}}^1$ et $F^{\prime }=g$.

C'est la norme « qui voit la dérivée » rencontrée au TD 5, $N(f)=|f(x_0)|+\Vert f^{\prime }{\Vert }_{\infty }$, qui travaille ici : l'inégalité ci-dessus dit que $\Vert f{\Vert }_{\infty }\le \max (1,b-a)N(f)$, et $N(f_n-F)=|f_n(x_0)-\ell |+\Vert f_n^{\prime }-g{\Vert }_{\infty }$ tend vers $0$.

4) Le déséquilibre des hypothèses. C'est l'intégrale qui transporte l'uniformité : de $f_n^{\prime }$ uniformément proche de $g$, on déduit $f_n$ uniformément proche de $F$, parce qu'une intégrale sur un segment est contrôlée par une borne supérieure. Le sens inverse est faux : deux fonctions uniformément proches peuvent avoir des pentes très différentes — c'est la question 1, où $u_n$ et la valeur absolue diffèrent partout d'au plus $\frac{1}{n}$, alors que $u_n^{\prime }(0)=0$ et que la valeur absolue a un coin. Quant à la convergence en un seul point, elle suffit parce qu'une primitive est déterminée à une constante près, et que la valeur en un point fixe cette constante.

Relues à cette lumière, les questions 1 et 2 disent tout : $(u_n)$ converge uniformément sur $\mathbb{R}$, mais $(u_n^{\prime })$ ne converge uniformément sur aucun voisinage de $0$ ; l'hypothèse du théorème manque exactement en $0$, et la conclusion tombe exactement en $0$.

Contrôle numérique. $u_n^{\prime }\left(\frac{1}{n}\right)=0,70711$ pour tout $n$ : l'écart à la fonction signe ne diminue pas. Sur $[0,1,+\infty [$ avec $n=100$ : $1-u_n^{\prime }(0,1)=4,96\cdot 10^{-3}$, sous la borne $\frac{1}{2n^2{c}^2}=5\cdot 10^{-3}$.

Ce que l'exercice installe. La convergence uniforme d'une suite ne dit rien de ses dérivées ; le théorème de dérivation demande l'uniformité des dérivées et la convergence en un point, parce que c'est l'intégration qui transporte l'uniformité. En physique : une mesure de position à erreur uniformément petite ne donne pas la vitesse — une petite oscillation très rapide suffit à la fausser —, alors qu'une vitesse connue uniformément et une position initiale déterminent toute la trajectoire.