Problème : le développement eulérien de la cotangente, et le problème de Bâle

1) La série converge, et sa forme symétrique. Soit $A>0$. Pour $n>A$ et $|x|\le A$, on a $n^2-x^2\ge n^2-A^2>0$, donc $$\left|\frac{2x}{x^2-n^2}\right|\le \frac{2A}{n^2-A^2}.$$ Ce majorant ne dépend pas de $x$, et il est équivalent à $\frac{2A}{n^2}$, terme général positif d'une série convergente : la série ${\sum }_{n>A}\frac{2x}{x^2-n^2}$ converge normalement sur $[-A,A]$. Ses termes sont continus sur $[-A,A]$ — aucun n'a de pôle dans ce segment, puisque $n>A$ —, donc sa somme $T_A$ est continue sur $[-A,A]$.

Définition et continuité de $g$. Sur $[-A,A]\setminus \mathbb{Z}$, $$g(x)=\frac{1}{x}+\sum _{1\le n\le A}\frac{2x}{x^2-n^2}+T_A(x),$$ somme d'un nombre fini de fonctions continues sur $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$ et d'une fonction continue sur $[-A,A]$. Tout réel non entier $x_0$ est intérieur à un tel segment (prendre $A>|x_0|$) : $g$ est définie et continue sur $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$. Chaque terme change de signe avec $x$ : $g$ est impaire.

La forme symétrique. Pour $n\ge 1$, $\frac{1}{x+n}+\frac{1}{x-n}=\frac{2x}{x^2-n^2}$. Donc, en notant ${\sigma }_N(x)={\sum }_{n=-N}^N\frac{1}{x+n}$, $${\sigma }_N(x)=\frac{1}{x}+\sum _{n=1}^N\frac{2x}{x^2-n^2}\underset{N\to +\infty }{\to }g(x).$$ La fonction $g$ est la somme, regroupée symétriquement, des fonctions $\frac{1}{x+n}$ : un pôle simple de résidu $1$ en chaque entier.

2) Périodicité et formule de duplication. Soit $x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$.

Périodicité. En réindexant par $m=n+1$, $${\sigma }_N(x+1)=\sum _{m=-N+1}^{N+1}\frac{1}{x+m}={\sigma }_N(x)-\frac{1}{x-N}+\frac{1}{x+N+1}.$$ Les deux termes correctifs tendent vers $0$ : en passant à la limite, $g(x+1)=g(x)$.

Duplication. Les réels $\frac{x}{2}$ et $\frac{x+1}{2}$ ne sont pas entiers (sinon $x$ le serait). Or $${\sigma }_N\left(\frac{x}{2}\right)+{\sigma }_N\left(\frac{x+1}{2}\right)=\sum _{n=-N}^N\left(\frac{2}{x+2n}+\frac{2}{x+2n+1}\right)=2\sum _{m=-2N}^{2N+1}\frac{1}{x+m},$$ car tout entier $m$ de $[-2N,2N+1]$ s'écrit de façon unique $2n$ ou $2n+1$ avec $-N\le n\le N$. Le dernier membre vaut $2{\sigma }_{2N}(x)+\frac{2}{x+2N+1}$. En faisant tendre $N$ vers l'infini : $$g\left(\frac{x}{2}\right)+g\left(\frac{x+1}{2}\right)=2g(x).$$

Pour $f$. La cotangente étant $\pi$-périodique, $f(x+1)=\pi \cot (\pi x+\pi )=f(x)$. Pour la duplication, posons $a=\frac{\pi x}{2}$ ; comme $x$ n'est pas entier, $\sin a$ et $\cos a$ sont non nuls. Puisque $\cot \left(a+\frac{\pi }{2}\right)=-\tan a$, $$f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)=\pi (\cot a-\tan a).$$ Et $\cot a-\tan a=\frac{{\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a}{\sin a\cos a}=\frac{\cos (2a)}{\frac{1}{2}\sin (2a)}=2\cot (2a)$, avec $2a=\pi x$. Donc $f\left(\frac{x}{2}\right)+f\left(\frac{x+1}{2}\right)=2\pi \cot (\pi x)=2f(x)$.

3) Le prolongement de $h$. Un développement limité, qui servira trois fois. De $\cos u=1-\frac{u^2}{2}+\frac{u^4}{24}+o(u^4)$ et $\frac{\sin u}{u}=1-\frac{u^2}{6}+\frac{u^4}{120}+o(u^4)$, on tire l'inverse $$\frac{u}{\sin u}=1+\frac{u^2}{6}+\frac{7u^4}{360}+o(u^4),$$ puis, en multipliant par le développement de $\cos u$ et en regroupant — coefficient de $u^2$ : $\frac{1}{6}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{3}$ ; coefficient de $u^4$ : $\frac{7}{360}-\frac{30}{360}+\frac{15}{360}=-\frac{1}{45}$ —, $$u\cot u=1-\frac{u^2}{3}-\frac{u^4}{45}+o(u^4).$$ Avec $u=\pi x$ et après division par $x\ne 0$ : $$\pi \cot (\pi x)-\frac{1}{x}=-\frac{{\pi }^{2}x}{3}-\frac{{\pi }^4{x}^3}{45}+o(x^3).$$ En particulier $f(x)-\frac{1}{x}\to 0$ quand $x\to 0$.

Le prolongement en $0$. D'autre part, $g(x)-\frac{1}{x}={\sum }_{n\ge 1}\frac{2x}{x^2-n^2}$ est, par la question 1 avec $A=\frac{1}{2}$, la somme d'une série de fonctions continues normalement convergente sur $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ : elle est continue en $0$, où elle vaut $0$. Donc $$h(x)=\left(f(x)-\frac{1}{x}\right)-\left(g(x)-\frac{1}{x}\right)\underset{x\to 0}{\to }0.$$ Aux autres entiers. Les fonctions $f$ et $g$ sont $1$-périodiques, donc $h$ aussi sur $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$ ; pour un entier $k$, $h(x)=h(x-k)\to 0$ quand $x\to k$. En posant $h(k)=0$ pour tout $k\in \mathbb{Z}$, on obtient une fonction continue sur $\mathbb{R}$, $1$-périodique et nulle aux entiers.

La duplication pour tout réel. Pour $x$ non entier, elle résulte de la question 2 par différence. Pour $x$ entier, on l'écrit en $x_p=x+\frac{1}{p+2}$, qui n'est pas entier pour $p\ge 1$, et l'on fait tendre $p$ vers l'infini : la continuité de $h$ aux trois points $\frac{x}{2}$, $\frac{x+1}{2}$ et $x$ donne $h\left(\frac{x}{2}\right)+h\left(\frac{x+1}{2}\right)=2h(x)$.

4) L'argument de Herglotz. La fonction $h$ est continue sur le segment $[0,1]$ : par le théorème des bornes atteintes, elle y admet un maximum $M$, atteint en un point $x_0$.

Le maximum se propage. Montrons par récurrence que $h\left(\frac{x_0}{2^k}\right)=M$ pour tout $k$. C'est vrai pour $k=0$. Supposons $h(y)=M$ avec $y=\frac{x_0}{2^k}$, qui appartient à $[0,1]$. Les deux points $\frac{y}{2}$ et $\frac{y+1}{2}$ appartiennent aussi à $[0,1]$, où $h\le M$. La relation de duplication donne $$h\left(\frac{y}{2}\right)+h\left(\frac{y+1}{2}\right)=2h(y)=2M,$$ somme de deux nombres majorés par $M$ et valant $2M$ : chacun vaut $M$. En particulier $h\left(\frac{x_0}{2^{k+1}}\right)=M$, ce qui achève la récurrence.

Conclusion. Quand $k\to +\infty$, $\frac{x_0}{2^k}\to 0$ ; par continuité de $h$ en $0$, $M=h(0)=0$. Donc $h\le 0$ sur $[0,1]$, et, par périodicité, sur $\mathbb{R}$. La fonction $-h$ est continue, $1$-périodique, nulle en $0$ et vérifie la même relation, qui est linéaire : le même raisonnement donne $-h\le 0$. Donc $h=0$, et pour tout réel $x$ non entier, $$\pi \cot (\pi x)=\frac{1}{x}+\sum _{n\ge 1}\frac{2x}{x^2-n^2}.$$

Le point délicat. Aucun calcul ne compare $f$ et $g$ directement : on a montré qu'elles vérifient la même équation fonctionnelle, que leur différence est continue, puis qu'une fonction continue égale, en chaque point, à la moyenne de ses valeurs en deux autres points ne peut pas avoir de maximum strictement positif — le maximum se propage jusqu'en $0$, où la fonction est nulle. C'est un principe du maximum.

5) Le problème de Bâle. Pour $0<|x|<1$, la question 4 donne, après division par $x$, $$\frac{1}{x}\left(\pi \cot (\pi x)-\frac{1}{x}\right)=-\sum _{n\ge 1}\frac{2}{n^2-x^2}.$$ Quand $x\to 0$, le membre de gauche tend vers $-\frac{{\pi }^2}{3}$, par le développement limité de la question 3. À droite, pour $|x|\le \frac{1}{2}$, $\left|\frac{2}{n^2-x^2}\right|\le \frac{2}{n^2-1/4}$ : la série converge normalement sur $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$, sa somme est continue en $0$ et tend vers ${\sum }_{n\ge 1}\frac{2}{n^2}$. D'où $-\frac{{\pi }^2}{3}=-2{\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}$, c'est-à-dire $$\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}.$$

6) La somme des inverses des puissances quatrièmes. La régularité. Posons $v_n(x)=\frac{1}{n-x}-\frac{1}{n+x}=\frac{2x}{n^2-x^2}$. Soit $0<a<1$. Pour $|x|\le a$ et $k\ge 0$, $$v_n^{(k)}(x)=\frac{k!}{(n-x{)}^{k+1}}-\frac{(-1{)}^{k}k!}{(n+x{)}^{k+1}},|v_n^{(k)}(x)|\le \frac{2k!}{(n-a{)}^{k+1}}.$$ Pour $k\ge 1$, ce majorant est équivalent à $\frac{2k!}{n^{k+1}}$, avec $k+1\ge 2$ : sa série converge. Pour $k=0$, on dispose de la majoration $\frac{2a}{n^2-a^2}$ de la question 1. Toutes les séries dérivées convergent donc normalement sur $[-a,a]$, et le théorème de dérivation terme à terme, étendu à la classe ${\mathcal{C}}^k$ pour tout $k$, montre que $S$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $[-a,a]$ pour tout $a<1$, donc sur $]-1,1[$, ses dérivées se calculant terme à terme.

$S^{\prime \prime \prime }(0)$ par la série. Pour $k=3$ et $x=0$ : $v_n^{\prime \prime \prime }(0)=\frac{6}{n^4}+\frac{6}{n^4}=\frac{12}{n^4}$. Donc $S^{\prime \prime \prime }(0)=12{\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^4}$.

$S^{\prime \prime \prime }(0)$ par la cotangente. Pour $x\in ]-1,1[$ non nul, la question 4 donne $S(x)=-\left(\pi \cot (\pi x)-\frac{1}{x}\right)$, et la question 3 fournit $$S(x)=\frac{{\pi }^2}{3}x+\frac{{\pi }^4}{45}{x}^3+o(x^3).$$ Comme $S$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ au voisinage de $0$, la formule de Taylor-Young lui donne aussi le développement $S(0)+S^{\prime }(0)x+\frac{S^{\prime \prime }(0)}{2}{x}^2+\frac{S^{\prime \prime \prime }(0)}{6}{x}^3+o(x^3)$. Par unicité des coefficients d'un développement limité, $\frac{S^{\prime \prime \prime }(0)}{6}=\frac{{\pi }^4}{45}$, soit $S^{\prime \prime \prime }(0)=\frac{2{\pi }^4}{15}$. (Le coefficient de $x$ fournit un contrôle : $S^{\prime }(0)={\sum }_{n\ge 1}\frac{2}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{3}$, ce qui est la question 5.)

Conclusion. $12{\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^4}=\frac{2{\pi }^4}{15}$, donc $$\sum _{n\ge 1}\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}.$$

Le théorème obtenu — le développement eulérien de la cotangente. Pour tout réel $x$ non entier, $\pi \cot (\pi x)=\frac{1}{x}+{\sum }_{n\ge 1}\frac{2x}{x^2-n^2}$ ; en conséquence, ${\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ et ${\sum }_{n\ge 1}\frac{1}{n^4}=\frac{{\pi }^4}{90}$.

Contrôle numérique. En $x=0,3$ : $\pi \cot (0,3\pi )=2,2825007$, et la somme des deux cent mille premiers termes de la série donne $2,2825037$, l'écart $3\cdot 10^{-6}$ étant celui du reste, de l'ordre de $\frac{2x}{N}$. La somme des mille premiers inverses de carrés vaut $1,6439346$, pour $\frac{{\pi }^2}{6}=1,6449341$ : l'écart, voisin de $\frac{1}{1000}$, est celui que prévoit la comparaison série-intégrale. Enfin $\frac{{\pi }^4}{90}=1,0823232$ et $12\times 1,0823232=12,987879=\frac{2{\pi }^4}{15}$.

Ce que le problème installe. Deux idées. La première : une identité entre deux fonctions se démontre parfois sans rien calculer — même équation fonctionnelle, continuité, et un principe du maximum pour tuer la différence. C'est, sous une forme discrète, le principe qui interdit à un potentiel électrostatique d'avoir un extremum dans une région vide de charges, et donc à une charge d'y être en équilibre stable. La seconde : une fonction qui a des pôles est la somme de ses pôles, comme une fraction rationnelle, mais avec une infinité de termes. Les valeurs $\frac{{\pi }^2}{6}$ et $\frac{{\pi }^4}{90}$ resserviront au TD 9, où la seconde donne la constante de la loi de Stefan, et au TD 11.