Quand la double limite échoue, la somme devient une intégrale

La stratégie. Trois temps. La continuité, par convergence normale locale. L'absence d'uniformité au voisinage de $+\infty$, par un point mobile, comme à l'exercice 1. La limite en $+\infty$, par comparaison série-intégrale, puisque l'interversion est interdite. La valeur trouvée, $\frac{\pi }{2}\ne 0$, prouvera d'ailleurs à elle seule que l'interversion aurait été fausse.

1) Continuité. Posons $u_n(x)=\frac{x}{n^2+x^2}$, continue et impaire sur $\mathbb{R}$. Sur un segment $[-A,A]$, $|u_n(x)|\le \frac{A}{n^2}$, majorant indépendant de $x$ et terme général d'une série convergente : la série converge normalement sur tout segment, et $g$ est définie et continue sur $\mathbb{R}$, et impaire.

Sur $\mathbb{R}$ tout entier, en revanche, $n^2+x^2\ge 2n|x|$ donne $|u_n(x)|\le \frac{1}{2n}$, avec égalité en $x=n$ : la borne supérieure de $|u_n|$ vaut $\frac{1}{2n}$, et $\sum \frac{1}{2n}$ diverge. Pas de convergence normale sur $\mathbb{R}$.

2) Le reste au point $x=N$. Pour $x>0$, la fonction $t\mapsto \frac{x}{t^2+x^2}$ est positive et décroissante sur $[0,+\infty [$, et $\int \frac{x\mathrm{d}t}{t^2+x^2}=\arctan \frac{t}{x}$. Au point $x=N$, pour $n\ge N+1$, $\frac{N}{n^2+N^2}\ge {\int }_n^{n+1}\frac{N\mathrm{d}t}{t^2+N^2}$ ; en sommant, $$R_N(N)=\sum _{n\ge N+1}\frac{N}{n^2+N^2}\ge {\int }_{N+1}^{+\infty }\frac{N\mathrm{d}t}{t^2+N^2}=\frac{\pi }{2}-\arctan \left(1+\frac{1}{N}\right).$$ Comme $1+\frac{1}{N}\le 2$, on obtient $R_N(N)\ge \frac{\pi }{2}-\arctan 2=\arctan \frac{1}{2}$, nombre strictement positif. Soit alors $a$ un réel : dès que $N\ge a$, le point $N$ appartient à $[a,+\infty [$, donc $$\underset{x\ge a}{\sup }|R_N(x)|\ge R_N(N)\ge \arctan \frac{1}{2}.$$ La borne supérieure du reste ne tend pas vers $0$ : la convergence n'est uniforme sur aucun intervalle $[a,+\infty [$, ni a fortiori sur $\mathbb{R}$. La majoration symétrique, $\frac{N}{n^2+N^2}\le {\int }_{n-1}^n\frac{N\mathrm{d}t}{t^2+N^2}$, donne $R_N(N)\le \frac{\pi }{2}-\arctan 1=\frac{\pi }{4}$ : le reste au point $N$ tend vers $\frac{\pi }{4}$.

3) La limite en $+\infty$. Fixons $x>0$ et notons $\psi (t)=\frac{x}{t^2+x^2}$, positive, décroissante et intégrable sur $[0,+\infty [$. Pour $n\ge 1$, ${\int }_n^{n+1}\psi \le \psi (n)\le {\int }_{n-1}^n\psi$. En sommant sur $n\ge 1$ : $${\int }_1^{+\infty }\psi (t)\mathrm{d}t\le g(x)\le {\int }_0^{+\infty }\psi (t)\mathrm{d}t.$$ Avec ${\int }_c^{+\infty }\psi =\frac{\pi }{2}-\arctan \frac{c}{x}$, cela s'écrit $$\frac{\pi }{2}-\arctan \frac{1}{x}\le g(x)\le \frac{\pi }{2}.$$ Comme $\arctan \frac{1}{x}\to 0$ quand $x\to +\infty$, l'encadrement donne $g(x)\to \frac{\pi }{2}$ ; par imparité, $g(x)\to -\frac{\pi }{2}$ en $-\infty$.

4) Pourquoi la double limite se tait, et ce que dit la somme. Si le théorème de la double limite s'appliquait en $+\infty$ — c'est-à-dire si la convergence était uniforme sur un intervalle $[a,+\infty [$ —, il donnerait $g(x)\to {\sum }_{n\ge 1}0=0$. La valeur $\frac{\pi }{2}$ montre que l'interversion est fausse, et la question 2 localise le défaut : au point $x=N$, le reste garde une masse voisine de $\frac{\pi }{4}$. Chaque terme tend vers $0$, mais le nombre de termes qui comptent croît avec $x$ : tous ceux d'indice $n\le x$ valent entre $\frac{1}{2x}$ et $\frac{1}{x}$, et il y en a à peu près $x$.

La somme de Riemann. Pour $x>0$, $$g(x)=\frac{1}{x}\sum _{n\ge 1}\frac{1}{1+(n/x{)}^2}.$$ C'est une somme de Riemann de pas $h=\frac{1}{x}$ de la fonction $t\mapsto \frac{1}{1+t^2}$ sur $[0,+\infty [$ : quand le pas tend vers $0$, elle tend vers ${\int }_0^{+\infty }\frac{\mathrm{d}t}{1+t^2}=\frac{\pi }{2}$. C'est le passage du discret au continu : en physique, quand l'écart entre deux modes voisins tend vers $0$ — une cavité ou une corde dont la longueur devient grande —, la somme sur les modes devient une intégrale sur une variable continue. Le calcul ci-dessus est exactement cela, contrôlé par la monotonie.

Le point délicat. Le théorème de la double limite exige l'uniformité sur un voisinage du point où l'on passe à la limite, ici sur un intervalle $[a,+\infty [$. La convergence normale sur chaque segment donne la continuité en tout point, et rien du tout en $+\infty$.

Contrôle numérique. $g(10)=1,520796$ et $g(100)=1,565796$, pour $\frac{\pi }{2}=1,570796$ : l'écart vaut presque exactement $\frac{1}{2x}$, la moitié du terme d'indice $0$ que la somme omet — la correction de la méthode des trapèzes, bien comprise entre $0$ et $\arctan \frac{1}{x}$. Le reste au point $N$ vaut $0,760815$ pour $N=10$ et $0,785373$ pour $N=10^4$, pour $\frac{\pi }{4}=0,785398$.

Ce que l'exercice installe. La convergence uniforme sur chaque segment donne la continuité, pas les limites aux bornes. Quand la double limite échoue, on ne renonce pas : on mesure, et ici la somme devient une intégrale. C'est la situation physique la plus fréquente : une somme sur des états discrets que l'on remplace, à grande échelle, par une intégrale pondérée par une densité d'états.