mathématiques (PC) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Quand la double limite échoue, la somme devient une intégrale

Suites et Séries de Fonctions · C. Théorème de la double limite et comportement aux bornes · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $g (x) = \sum_{n \geq 1} \frac{x}{n ^{2} + x ^{2}}$ .

1) Montrer que $g$ est définie et continue sur $R$ , par convergence normale sur tout segment.

2) En évaluant le reste $R_{N}$ au point $x = N$ , montrer que la convergence n'est pas uniforme sur $R$ , ni même sur $[a, + \infty [$ , quel que soit $a$ .

3) Établir, par comparaison série-intégrale, que $g (x) \to \frac{π}{2}$ quand $x \to + \infty$ .

4) Chaque terme de la série tend vers $0$ quand $x \to + \infty$ . Expliquer pourquoi le théorème de la double limite ne pouvait pas donner la limite de $g$ , et interpréter $g (x)$ comme une somme de Riemann de la fonction $t \mapsto \frac{1}{1 + t ^{2}}$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie. Trois temps. La continuité, par convergence normale locale. L'absence d'uniformité au voisinage de $+ \infty$ , par un point mobile, comme à l'exercice 1. La limite en $+ \infty$ , par comparaison série-intégrale, puisque l'interversion est interdite. La valeur trouvée, $\frac{π}{2} \neq = 0$ , prouvera d'ailleurs à elle seule que l'interversion aurait été fausse.

1) Continuité. Posons $u_{n} (x) = \frac{x}{n ^{2} + x ^{2}}$ , continue et impaire sur $R$ . Sur un segment $[- A, A]$ , $∣ u_{n} (x) ∣ \leq \frac{A}{n ^{2}}$ , majorant indépendant de $x$ et terme général d'une série convergente : la série converge normalement sur tout segment, et $g$ est définie et continue sur $R$ , et impaire.

Sur $R$ tout entier, en revanche, $n^{2} + x^{2} \geq 2 n ∣ x ∣$ donne $∣ u_{n} (x) ∣ \leq \frac{1}{2 n}$ , avec égalité en $x = n$ : la borne supérieure de $∣ u_{n} ∣$ vaut $\frac{1}{2 n}$ , et $\sum \frac{1}{2 n}$ diverge. Pas de convergence normale sur $R$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

2) En évaluant le reste $R_{N}$ au point $x = N$ , montrer que la convergence n'est pas uniforme sur $R$ , ni même sur $[a, + \infty [$ , quel que soit $a$ .

Élève

Je dois montrer que $R_{N} (N)$ ne tend pas vers $0$ , mais je ne sais pas calculer $\sum_{n \geq N + 1} \frac{N}{n ^{2} + N ^{2}}$ .

Tu n'as pas besoin de la valeur exacte : une minoration par une constante strictement positive suffit. À $N$ fixé, à quelle fonction de $t$ compares-tu cette somme, et quelle propriété de cette fonction autorise la comparaison ?

Élève

À $t \mapsto \frac{N}{t ^{2} + N ^{2}}$ , qui est décroissante sur $[0, + \infty [$ : chaque terme d'indice $n$ majore l'intégrale sur $[n, n + 1]$ . Et une primitive est $arctan \frac{t}{N}$ .

Bien. Que donne la sommation pour $n \geq N + 1$ , comment en tires-tu un minorant qui ne dépend plus de $N$ , et pourquoi ce minorant interdit-il la convergence uniforme sur n'importe quel $[a, + \infty [$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

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Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

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