mathématiques (PC) · Chapitre 7 · Exercice de TD

Suivre un point qui bouge : le critère séquentiel

Suites et Séries de Fonctions · A. Suites de fonctions : convergence simple, convergence uniforme · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $A$ une partie de $R$ , $(u_{n})$ une suite de fonctions de $A$ dans $R$ et $u : A \to R$ .

1) Montrer que $(u_{n})$ converge uniformément vers $u$ sur $A$ si et seulement si, pour toute suite $(x_{n})$ d'éléments de $A$ , $u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) \to 0$ .

2) En exhibant chaque fois une suite $(x_{n})$ , montrer que la suite de fonctions $x \mapsto n x e^{- n x}$ ne converge pas uniformément vers $0$ sur $[0, + \infty [$ , et que $v_{n} : x \mapsto x^{n} - x^{2 n}$ , qui converge simplement vers $0$ sur $[0, 1]$ tout entier, n'y converge pas uniformément. Montrer que $(v_{n})$ converge uniformément sur $[0, a]$ pour tout $a \in] 0, 1 [$ .

3) On suppose ici $A = [0, 1]$ , les $u_{n}$ continues et $(u_{n})$ uniformément convergente vers $u$ sur $[0, 1]$ . Montrer que $u_{n} (x_{n}) \to u (x)$ pour toute suite $(x_{n})$ de $[0, 1]$ de limite $x$ , puis que $\int_{0}^{1} u_{n} (t^{2}) d t \to \int_{0}^{1} u (t^{2}) d t$ . Montrer sur $u_{n} (x) = x^{n}$ que la première conclusion tombe si la convergence n'est que simple.

4) Soient $f$ continue sur $[0, 1]$ et $w_{n} (x) = f (x^{n})$ . Déterminer la limite simple de $(w_{n})$ sur $[0, 1]$ , puis montrer que $(w_{n})$ converge uniformément sur $[0, 1]$ si et seulement si $f$ est constante. (Pour $t_{0} \in [0, 1 [$ , considérer $x_{n} = t_{0}^{1/ n}$ .)

Corrigé de la question 1

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition : $(u_{n})$ converge uniformément vers $u$ sur $A$ lorsque la borne supérieure $s_{n} = sup_{x \in A} ∣ u_{n} (x) - u (x) ∣$ , élément de $[0, + \infty]$ , tend vers $0$ ; la caractérisation de la borne supérieure ; et, pour la question 3, le théorème de continuité de la limite uniforme d'une suite de fonctions continues. L'idée directrice : une majoration qui ne dépend d'aucun point vaut aussi en un point qui se déplace avec $n$ .

1) Le critère.

Sens direct. Supposons la convergence uniforme et soit $(x_{n})$ une suite de $A$ . Pour chaque $n$ , le point $x_{n}$ est l'un des points sur lesquels porte la borne supérieure, donc $∣ u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) ∣ \leq s_{n}$ . Comme $s_{n} \to 0$ , le théorème d'encadrement donne $u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) \to 0$ .

Sens réciproque. Supposons que $u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) \to 0$ pour toute suite $(x_{n})$ de $A$ , et fabriquons une suite qui suit le défaut d'uniformité. Pour chaque $n$ , posons $m_{n} = min (1, s_{n})$ , qui appartient à $[0, 1]$ . Si $m_{n} = 0$ , on choisit $x_{n}$ quelconque dans $A$ . Si $m_{n} > 0$ , le réel $\frac{m _{n}}{2}$ est strictement inférieur à $s_{n}$ : par la caractérisation de la borne supérieure, il existe $x_{n} \in A$ tel que $∣ u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) ∣ > \frac{m _{n}}{2}$ . Dans les deux cas, $0 \leq m_{n} \leq 2 ∣ u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) ∣.$ L'hypothèse, appliquée à cette suite-là, donne $m_{n} \to 0$ . En particulier $m_{n} < 1$ à partir d'un certain rang, et alors $m_{n} = s_{n}$ . Donc $s_{n} \to 0$ : la convergence est uniforme.

Le point délicat. On ne peut pas prendre $x_{n}$ « là où la borne supérieure est atteinte » : elle ne l'est pas toujours, et elle peut valoir $+ \infty$ . Viser la moitié de $min (1, s_{n})$ règle les deux difficultés d'un coup.

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

Pour $x \mapsto n x e^{- n x}$ , je cherche une suite $(x_{n})$ où la valeur ne tend pas vers $0$ . J'ai essayé $x_{n} = n$ , mais la valeur tend encore vers $0$ .

Avec $x_{n} = n$ , l'exponentielle écrase tout. Regarde la forme de l'expression : quelle quantité faudrait-il garder constante pour que $n x_{n} e^{- n x_{n}}$ ne tende pas vers $0$ ?

Élève

Il faudrait que le produit $n x_{n}$ reste constant, donc prendre $x_{n}$ de l'ordre de $\frac{1}{n}$ .

Que vaut la fonction au point $x_{n} = \frac{1}{n}$ ? Pour $v_{n}$ , quelle quantité faut-il fixer de la même façon, en pensant à $x_{n}^{n}$ ? Et sur $[0, a]$ , quel majorant de $∣ v_{n} (x) ∣$ indépendant de $x$ peux-tu écrire ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →