Suivre un point qui bouge : le critère séquentiel

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PC), chapitre 7 — Suites et Séries de Fonctions · A. Suites de fonctions : convergence simple, convergence uniforme

Énoncé

Soient $A$ une partie de $R$ , $(u_{n})$ une suite de fonctions de $A$ dans $R$ et $u : A \to R$ .

1) Montrer que $(u_{n})$ converge uniformément vers $u$ sur $A$ si et seulement si, pour toute suite $(x_{n})$ d'éléments de $A$ , $u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) \to 0$ .

2) En exhibant chaque fois une suite $(x_{n})$ , montrer que la suite de fonctions $x \mapsto n x e^{- n x}$ ne converge pas uniformément vers $0$ sur $[0, + \infty [$ , et que $v_{n} : x \mapsto x^{n} - x^{2 n}$ , qui converge simplement vers $0$ sur $[0, 1]$ tout entier, n'y converge pas uniformément. Montrer que $(v_{n})$ converge uniformément sur $[0, a]$ pour tout $a \in] 0, 1 [$ .

3) On suppose ici $A = [0, 1]$ , les $u_{n}$ continues et $(u_{n})$ uniformément convergente vers $u$ sur $[0, 1]$ . Montrer que $u_{n} (x_{n}) \to u (x)$ pour toute suite $(x_{n})$ de $[0, 1]$ de limite $x$ , puis que $\int_{0}^{1} u_{n} (t^{2}) d t \to \int_{0}^{1} u (t^{2}) d t$ . Montrer sur $u_{n} (x) = x^{n}$ que la première conclusion tombe si la convergence n'est que simple.

4) Soient $f$ continue sur $[0, 1]$ et $w_{n} (x) = f (x^{n})$ . Déterminer la limite simple de $(w_{n})$ sur $[0, 1]$ , puis montrer que $(w_{n})$ converge uniformément sur $[0, 1]$ si et seulement si $f$ est constante. (Pour $t_{0} \in [0, 1 [$ , considérer $x_{n} = t_{0}^{1/ n}$ .)

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition : $(u_{n})$ converge uniformément vers $u$ sur $A$ lorsque la borne supérieure $s_{n} = sup_{x \in A} ∣ u_{n} (x) - u (x) ∣$ , élément de $[0, + \infty]$ , tend vers $0$ ; la caractérisation de la borne supérieure ; et, pour la question 3, le théorème de continuité de la limite uniforme d'une suite de fonctions continues. L'idée directrice : une majoration qui ne dépend d'aucun point vaut aussi en un point qui se déplace avec $n$ .

1) Le critère.

Sens direct. Supposons la convergence uniforme et soit $(x_{n})$ une suite de $A$ . Pour chaque $n$ , le point $x_{n}$ est l'un des points sur lesquels porte la borne supérieure, donc $∣ u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) ∣ \leq s_{n}$ . Comme $s_{n} \to 0$ , le théorème d'encadrement donne $u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) \to 0$ .

Sens réciproque. Supposons que $u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) \to 0$ pour toute suite $(x_{n})$ de $A$ , et fabriquons une suite qui suit le défaut d'uniformité. Pour chaque $n$ , posons $m_{n} = min (1, s_{n})$ , qui appartient à $[0, 1]$ . Si $m_{n} = 0$ , on choisit $x_{n}$ quelconque dans $A$ . Si $m_{n} > 0$ , le réel $\frac{m _{n}}{2}$ est strictement inférieur à $s_{n}$ : par la caractérisation de la borne supérieure, il existe $x_{n} \in A$ tel que $∣ u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) ∣ > \frac{m _{n}}{2}$ . Dans les deux cas, $0 \leq m_{n} \leq 2 ∣ u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) ∣.$ L'hypothèse, appliquée à cette suite-là, donne $m_{n} \to 0$ . En particulier $m_{n} < 1$ à partir d'un certain rang, et alors $m_{n} = s_{n}$ . Donc $s_{n} \to 0$ : la convergence est uniforme.

Le point délicat. On ne peut pas prendre $x_{n}$ « là où la borne supérieure est atteinte » : elle ne l'est pas toujours, et elle peut valoir $+ \infty$ . Viser la moitié de $min (1, s_{n})$ règle les deux difficultés d'un coup.

2) Deux défauts d'uniformité, chacun trahi par un seul point.

La première suite. En $x = 0$ , $n x e^{- n x} = 0$ . Pour $x > 0$ fixé, posons $t = n x$ , qui tend vers $+ \infty$ : $t e^{- t} \to 0$ par croissances comparées. La limite simple est la fonction nulle. Prenons $x_{n} = \frac{1}{n}$ : la valeur en ce point vaut $n \cdot \frac{1}{n} \cdot e^{- 1} = \frac{1}{e}$ pour tout $n$ , et ne tend pas vers $0$ . Par le 1), la convergence n'est pas uniforme sur $[0, + \infty [$ . Le point $\frac{1}{n}$ est le sommet d'une bosse de hauteur constante $\frac{1}{e}$ qui glisse vers $0$ .

La seconde suite. Pour $x \in [0, 1 [$ , $x^{n} \to 0$ et $x^{2 n} \to 0$ ; en $x = 1$ , $v_{n} (1) = 1 - 1 = 0$ . La limite simple est nulle sur $[0, 1]$ tout entier, extrémité comprise. Posons $x_{n} = 2^{- 1/ n}$ , qui appartient à $[0, 1 [$ et vérifie $x_{n}^{n} = \frac{1}{2}$ . Alors $v_{n} (x_{n}) = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} pour tout n .$ Le 1) conclut : pas de convergence uniforme sur $[0, 1]$ . Ici $x_{n} \to 1$ : la bosse ne s'aplatit pas, elle sort par le bord.

Sur $[0, a]$ , avec $0 < a < 1$ . Pour $x \in [0, a]$ , $∣ v_{n} (x) ∣ \leq x^{n} + x^{2 n} \leq 2 a^{n}$ . Ce majorant ne dépend pas de $x$ et tend vers $0$ : la convergence est uniforme sur $[0, a]$ . Le point mobile $2^{- 1/ n}$ finit par sortir de $[0, a]$ , et le défaut avec lui.

3) La convergence uniforme transporte les compositions.

Préliminaire. Les $u_{n}$ sont continues et la convergence est uniforme sur $[0, 1]$ : la limite $u$ est continue sur $[0, 1]$ , par le théorème du cours. C'est la première chose que la convergence simple ne donnerait pas.

Le point mobile. Soit $(x_{n})$ une suite de $[0, 1]$ de limite $x$ ; $x$ appartient à $[0, 1]$ , qui est fermé. On insère la valeur intermédiaire $u (x_{n})$ : $∣ u_{n} (x_{n}) - u (x) ∣ \leq ∣ u_{n} (x_{n}) - u (x_{n}) ∣ + ∣ u (x_{n}) - u (x) ∣.$ Le premier terme tend vers $0$ par le sens direct du 1). Le second tend vers $0$ par continuité de $u$ en $x$ et caractérisation séquentielle de la continuité. Donc $u_{n} (x_{n}) \to u (x)$ .

L'intégrale. Pour $t \in [0, 1]$ , le point $t^{2}$ appartient à $[0, 1]$ , donc $∣ u_{n} (t^{2}) - u (t^{2}) ∣ \leq s_{n}$ . Les fonctions $t \mapsto u_{n} (t^{2})$ , continues, convergent donc uniformément sur $[0, 1]$ vers $t \mapsto u (t^{2})$ : le théorème d'intégration sur un segment s'applique. On peut aussi l'écrire directement : $\int_{0}^{1} u_{n} (t^{2}) d t - \int_{0}^{1} u (t^{2}) d t \leq \int_{0}^{1} s_{n} d t = s_{n} ⟶ 0.$ Le carré n'a joué aucun rôle : seul compte que $t \mapsto t^{2}$ envoie $[0, 1]$ dans $[0, 1]$ .

Le contre-exemple. Avec $u_{n} (x) = x^{n}$ , la limite simple vaut $0$ sur $[0, 1 [$ et $1$ en $1$ . Prenons $x_{n} = 1 - \frac{1}{n}$ , qui tend vers $1$ : $u_{n} (x_{n}) = (1 - \frac{1}{n})^{n} = e^{n l n (1 - 1/ n)} ⟶ e^{- 1},$ car $n ln (1 - \frac{1}{n}) \to - 1$ . Or la limite simple vaut $1$ au point $1$ : la composition n'a pas suivi.

4) Les fonctions $f (x^{n})$ .

La limite simple. Pour $x \in [0, 1 [$ , $x^{n} \to 0$ et $f$ est continue en $0$ : $w_{n} (x) \to f (0)$ . En $x = 1$ : $w_{n} (1) = f (1)$ pour tout $n$ . La limite simple est la fonction $w$ qui vaut $f (0)$ sur $[0, 1 [$ et $f (1)$ en $1$ .

Si $f$ est constante, $w_{n} = f$ pour tout $n$ : la convergence est uniforme, trivialement.

Réciproquement, supposons la convergence uniforme. Soient $t_{0} \in [0, 1 [$ et $x_{n} = t_{0}^{1/ n}$ (avec $x_{n} = 0$ si $t_{0} = 0$ ) : $x_{n}$ appartient à $[0, 1 [$ et $x_{n}^{n} = t_{0}$ . Donc $w_{n} (x_{n}) = f (t_{0})$ , tandis que $w (x_{n}) = f (0)$ puisque $x_{n} < 1$ . Le 1) donne $w_{n} (x_{n}) - w (x_{n}) = f (t_{0}) - f (0) ⟶ 0.$ Or cette suite est constante : elle est donc nulle, et $f (t_{0}) = f (0)$ . Ainsi $f$ est constante sur $[0, 1 [$ ; par continuité en $1$ , $f (1) = lim_{t \to 1^{-}} f (t) = f (0)$ . La fonction $f$ est constante.

Le point délicat. Le point $t_{0}^{1/ n}$ est choisi pour que $x_{n}^{n}$ ne bouge pas. Plus généralement, $x \mapsto x^{n}$ envoie $[0, 1 [$ sur lui-même, donc la borne supérieure de $∣ w_{n} - f (0) ∣$ sur $[0, 1 [$ est celle de $∣ f - f (0) ∣$ : elle ne dépend pas de $n$ . Une borne supérieure qui ne bouge pas ne tend vers $0$ que si elle est nulle.

Contrôle numérique. $(1 - \frac{1}{100})^{100} = 0, 36603$ et $(1 - 1 0^{- 6})^{1 0^{6}} = 0, 3678793$ , pour $e^{- 1} = 0, 3678794$ ; les points $2^{- 1/ n}$ valent $0, 5$ , $0, 871$ , $0, 986$ pour $n = 1$ , $5$ , $50$ .

Ce que l'exercice installe. Pour prouver la convergence uniforme, on majore l'écart indépendamment du point ; pour la réfuter, on n'étudie pas de borne supérieure : on exhibe un point mobile où l'écart ne tend pas vers $0$ — le sommet d'une bosse, un point qui fuit vers le bord. Et c'est parce qu'elle ne dépend d'aucun point que l'uniformité traverse une composition, une intégrale, un changement de variable. En physique, c'est la différence entre une approximation valable « en chaque point » et une approximation « à erreur garantie partout » : seule la seconde s'intègre sans précaution.

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