Ce que la somme détermine : unicité et zéros isolés

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · mathématiques (PC), chapitre 8 — Séries Entières · E. Somme d'une série entière, régularité et équations différentielles

Énoncé

Soit $f (x) = \sum a_{n} x^{n}$ , somme d'une série entière de rayon $R > 0$ .

1) On suppose que $f (\frac{1}{k}) = 0$ pour tout entier $k \geq k_{0}$ . Montrer que tous les $a_{n}$ sont nuls. (Raisonner sur le plus petit indice $p$ tel que $a_{p} \neq = 0$ , et écrire $f (x) = x^{p} g (x)$ .)

2) En déduire que deux séries entières de rayons non nuls dont les sommes coïncident en tous les $\frac{1}{k}$ , $k \geq k_{0}$ , ont les mêmes coefficients.

3) Montrer que si $f$ est paire (resp. impaire) sur $] - R, R [$ , ses coefficients d'indice impair (resp. pair) sont nuls.

4) Existe-t-il une série entière de rayon non nul dont la somme vérifie $f (\frac{1}{n}) = \frac{1}{n + 1}$ pour tout entier $n \geq 2$ ? Et $f (\frac{1}{n}) = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ pour tout entier $n \geq 2$ ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La continuité de la somme d'une série entière sur l'intervalle ouvert de convergence, et le rayon d'une somme de deux séries entières. Rien d'autre : l'exercice démontre l'unicité des coefficients à partir de la seule continuité.

1) Les coefficients sont nuls. Quitte à augmenter $k_{0}$ , on suppose $\frac{1}{k _{0}} < R$ , de sorte que tous les points $\frac{1}{k}$ , $k \geq k_{0}$ , sont dans $] - R, R [$ . Raisonnons par l'absurde : supposons qu'un coefficient soit non nul, et soit $p$ le plus petit indice tel que $a_{p} \neq = 0$ .

La factorisation. Considérons la série $\sum_{m \geq 0} a_{m + p} x^{m}$ . Pour $0 < ∣ x ∣ < R$ , $m \geq 0 \sum ∣ a_{m + p} ∣ ∣ x ∣^{m} = \frac{1}{∣ x ∣ ^{p}} n \geq p \sum ∣ a_{n} ∣ ∣ x ∣^{n} < + \infty,$ par convergence absolue à l'intérieur du disque : son rayon est au moins $R$ . Notons $g$ sa somme ; elle est continue sur $] - R, R [$ et $g (0) = a_{p}$ . Pour $∣ x ∣ < R$ , puisque $a_{0} = \dots = a_{p - 1} = 0$ , on a $f (x) = x^{p} g (x)$ .

La conclusion. Pour $k \geq k_{0}$ , $f (\frac{1}{k}) = \frac{1}{k ^{p}} g (\frac{1}{k}) = 0$ , et $\frac{1}{k ^{p}} \neq = 0$ : on divise, et $g (\frac{1}{k}) = 0$ . Ensuite seulement, on fait tendre $k$ vers l'infini : par continuité de $g$ en $0$ , $a_{p} = g (0) = lim g (\frac{1}{k}) = 0$ . Contradiction. Tous les coefficients sont nuls, et $f$ est nulle sur $] - R, R [$ .

Le point délicat. L'ordre des deux opérations : on divise par $x^{p}$ en des points non nuls, puis on passe à la limite. La suite $(\frac{1}{k})$ fournit une infinité de points où la division est licite, qui s'accumulent au seul point où elle ne l'est pas. La démonstration n'a utilisé de cette suite que ces deux propriétés : elle vaut pour toute suite de points non nuls de $] - R, R [$ qui tend vers $0$ .

2) L'unicité. Soient $\sum a_{n} x^{n}$ et $\sum b_{n} x^{n}$ de rayons $R_{1}$ et $R_{2}$ non nuls, de sommes égales aux points $\frac{1}{k}$ pour $k \geq k_{0}$ . La série $\sum (a_{n} - b_{n}) x^{n}$ a un rayon au moins égal à $min (R_{1}, R_{2}) > 0$ , et sa somme est la différence des deux sommes : elle s'annule en $\frac{1}{k}$ pour $k$ assez grand. Par la question 1, $a_{n} = b_{n}$ pour tout $n$ .

3) La parité. Pour $∣ x ∣ < R$ , $f (- x) = \sum (- 1)^{n} a_{n} x^{n}$ , série entière de rayon $R$ (ses coefficients ont le même module). Si $f$ est paire, les séries $\sum (- 1)^{n} a_{n} x^{n}$ et $\sum a_{n} x^{n}$ ont la même somme sur $] - R, R [$ , en particulier aux points $\frac{1}{k}$ : par la question 2, $(- 1)^{n} a_{n} = a_{n}$ pour tout $n$ , donc $2 a_{n} = 0$ pour $n$ impair. Les coefficients d'indice impair sont nuls. Si $f$ est impaire, le même argument donne $(- 1)^{n} a_{n} = - a_{n}$ , donc $a_{n} = 0$ pour $n$ pair.

4) Deux problèmes d'interpolation.

Le premier a une solution. La fonction $x \mapsto \frac{x}{1 + x}$ est développable sur $] - 1, 1 [$ : $\frac{x}{1 + x} = \sum_{n \geq 1} (- 1)^{n - 1} x^{n}$ , de rayon $1$ . Pour $n \geq 2$ , $\frac{1}{n} \in] - 1, 1 [$ et $\frac{1/ n}{1 + 1/ n} = \frac{1}{n + 1}$ . Oui ; et, par la question 2, c'est la seule.

Le second n'en a pas. Supposons qu'une série de rayon $R > 0$ ait une somme $f$ vérifiant $f (\frac{1}{n}) = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ pour tout $n \geq 2$ . Aux points pairs, $f (\frac{1}{2 k}) = \frac{1}{2 k}$ : la série entière de somme $f (x) - x$ s'annule sur la suite des $\frac{1}{2 k}$ , points non nuls qui tendent vers $0$ . Par la remarque de la question 1, tous ses coefficients sont nuls : $f (x) = x$ sur $] - R, R [$ . Aux points impairs, $f (\frac{1}{2 k + 1}) = - \frac{1}{2 k + 1}$ , et le même argument donne $f (x) = - x$ sur $] - R, R [$ . Donc $x = - x$ pour tout $x \in] - R, R [$ , ce qui est faux en $x = \frac{R}{2}$ . Aucune série entière ne convient.

Contrôle. Chaque hypothèse porte. Sans « somme d'une série entière », $x \mapsto sin \frac{1}{x}$ s'annule en tous les $\frac{1}{k π}$ sans être nulle — mais elle ne se prolonge même pas par continuité en $0$ . Avec un nombre fini de zéros, rien ne suit : $x - x^{2}$ s'annule en $0$ et en $1$ sans être nulle. C'est l'accumulation des zéros en $0$ qui force la nullité.

Ce que l'exercice installe. Les coefficients d'une série entière de rayon non nul sont déterminés par les valeurs de sa somme sur n'importe quelle suite de points non nuls tendant vers $0$ : les zéros d'une somme non nulle sont isolés en $0$ . C'est ce qui légitime toutes les identifications de coefficients du chapitre — méthode de l'équation différentielle, fonctions génératrices, parité.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.