Développable, ou seulement ${\mathcal{C}}^{\infty }$ ?

La stratégie. Être développable entraîne d'être de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$, avec des coefficients imposés : $a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. La réciproque échoue de deux façons, et un critère — le reste intégral de Taylor — dit ce qui décide.

1) La fonction plate. Le lemme. Pour tout polynôme $P$, $P\left(\frac{1}{x}\right){\mathrm{e}}^{-1/x^2}\to 0$ quand $x\to 0$. Par linéarité, il suffit de le voir pour $P(u)=u^m$ : avec $t=\frac{1}{x^2}\to +\infty$, $\left|\frac{1}{x^m}\right|{\mathrm{e}}^{-1/x^2}=t^{m/2}{\mathrm{e}}^{-t}\to 0$ par croissances comparées.

La forme des dérivées sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, par récurrence. $P_0=1$. Si $f^{(n)}(x)=P_n\left(\frac{1}{x}\right){\mathrm{e}}^{-1/x^2}$ sur ${\mathbb{R}}^{\ast }$, la dérivée de $\frac{1}{x}$ étant $-\frac{1}{x^2}$ et celle de ${\mathrm{e}}^{-1/x^2}$ étant $\frac{2}{x^3}{\mathrm{e}}^{-1/x^2}$, la règle du produit donne $f^{(n+1)}(x)=P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right){\mathrm{e}}^{-1/x^2}$, avec $$P_{n+1}(u)=-u^2{P}_n^{\prime }(u)+2u^3{P}_n(u),$$ qui est polynomial. Par exemple $P_1(u)=2u^3$ et $P_2(u)=4u^6-6u^4$.

En $0$, par récurrence : $f$ est $n$ fois dérivable sur $\mathbb{R}$ et $f^{(n)}(0)=0$. C'est vrai pour $n=0$. Si c'est vrai au rang $n$, le taux d'accroissement de $f^{(n)}$ en $0$ vaut, pour $x\ne 0$, $\frac{1}{x}{P}_n\left(\frac{1}{x}\right){\mathrm{e}}^{-1/x^2}$, polynôme en $\frac{1}{x}$ fois l'exponentielle : il tend vers $0$ par le lemme. Donc $f^{(n+1)}(0)$ existe et vaut $0$. Enfin $f^{(n+1)}$ est continue en $0$, puisque $f^{(n+1)}(x)=P_{n+1}\left(\frac{1}{x}\right){\mathrm{e}}^{-1/x^2}\to 0$, encore par le lemme. $f$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$, et toutes ses dérivées sont nulles en $0$.

Non développable. Si $f$ était somme d'une série entière sur un intervalle $]-r,r[$, ses coefficients seraient $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}=0$, et $f$ serait nulle sur $]-r,r[$. Or $f\left(\frac{r}{2}\right)={\mathrm{e}}^{-4/r^2}>0$. Sa série de Taylor converge partout — c'est la série nulle — mais pas vers $f$.

2) Le critère du reste intégral. Soit $x\in ]-a,a[$. La formule de Taylor avec reste intégral, à l'ordre $n$, s'écrit $$f(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k+{\int }_0^x\frac{(x-t{)}^n}{n!}{f}^{(n+1)}(t)\mathrm{d}t.$$ Le reste est majoré en valeur absolue par $M\left|{\int }_0^x\frac{|x-t{|}^n}{n!}\mathrm{d}t\right|=\frac{M|x{|}^{n+1}}{(n+1)!}$, qui tend vers $0$ quand $n\to +\infty$ : c'est le terme général de la série exponentielle en $|x|$. La série de Taylor converge donc vers $f(x)$ en tout point de $]-a,a[$ : $f$ est développable en série entière sur $]-a,a[$.

Applications. Pour $\exp$ sur $]-a,a[$, toutes les dérivées valent $\exp$, majorée par ${\mathrm{e}}^a$ : ${\mathrm{e}}^x=\sum \frac{x^n}{n!}$ sur $]-a,a[$, pour tout $a$, donc sur $\mathbb{R}$. Pour $\cos$ et $\sin$, toutes les dérivées sont bornées par $1$ sur $\mathbb{R}$ : elles sont développables sur $\mathbb{R}$, avec les développements du formulaire.

3) La série de Taylor de rayon nul. La régularité. Le terme $u_n(x)={\mathrm{e}}^{-n}\cos (n^{2}x)$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$, et sa dérivée $k$-ième est ${\mathrm{e}}^{-n}{n}^{2k}{\cos }^{(k)}(n^{2}x)$, bornée par $n^{2k}{\mathrm{e}}^{-n}$. Or $n^{2k}{\mathrm{e}}^{-n}=o\left(\frac{1}{n^2}\right)$ par croissances comparées : pour tout $k$, la série des dérivées $k$-ièmes converge normalement sur $\mathbb{R}$. Par le théorème de dérivation terme à terme étendu à la classe ${\mathcal{C}}^k$, $g$ est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$, ses dérivées se calculant terme à terme.

Les dérivées en $0$. Comme ${\cos }^{(2k)}=(-1{)}^k\cos$, on a $g^{(2k)}(0)=(-1{)}^k{\sum }_{n\ge 0}{\mathrm{e}}^{-n}{n}^{4k}$. Tous les termes sont positifs, donc la somme dépasse son terme d'indice $n=2k$ : $$|g^{(2k)}(0)|\ge {\mathrm{e}}^{-2k}(2k{)}^{4k}.$$ Les dérivées d'ordre impair sont nulles en $0$, puisque ${\cos }^{(2k+1)}(0)=\pm \sin 0=0$.

Le rayon. Soit $x\ne 0$. Le terme d'indice $2k$ de la série de Taylor vérifie, puisque $(2k)!\le (2k{)}^{2k}$, $$\left|\frac{g^{(2k)}(0)}{(2k)!}{x}^{2k}\right|\ge \frac{{\mathrm{e}}^{-2k}(2k{)}^{4k}}{(2k{)}^{2k}}|x{|}^{2k}={\left(\frac{2k|x|}{\mathrm{e}}\right)}^{2k},$$ qui tend vers $+\infty$. Les termes ne tendent pas vers $0$ : la série de Taylor diverge en tout $x\ne 0$. Son rayon est nul.

4) Deux obstructions. Une fonction de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ peut ne pas être développable parce que sa série de Taylor converge vers autre chose — la fonction plate ${\mathrm{e}}^{-1/x^2}$ —, ou parce qu'elle a un rayon nul — la fonction $g$, dont les dérivées en $0$ croissent trop vite. Ce qui décide, c'est le reste intégral : il faut qu'il tende vers $0$, et des dérivées uniformément bornées en sont une garantie.

Contrôle numérique. $|g^{\prime \prime }(0)|=\sum {\mathrm{e}}^{-n}{n}^4=24,003$, au-dessus de la borne ${\mathrm{e}}^{-2}\cdot 2^4=2,165$ ; $|g^{(4)}(0)|=40320,005$, au-dessus de ${\mathrm{e}}^{-4}\cdot 4^8=1200,3$. En $x=0,1$, les termes d'indices $2$, $4$, $6$ et $10$ de la série de Taylor valent en valeur absolue $0,12$ ; $0,168$ ; $0,665$ ; $67,04$ : ils croissent, même pour un $x$ petit. Quant à la fonction plate, $f(0,1)=3,7\cdot 10^{-44}$.

Ce que l'exercice installe. La classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ ne se transmet pas en développabilité, et l'on sait dire pourquoi, de deux façons. Pour prouver qu'une fonction est développable, on contrôle le reste intégral de Taylor, ou l'on passe par une équation différentielle, ou l'on combine des développements connus. En physique, c'est une mise en garde : une série de Taylor qui converge ne représente pas forcément la fonction, et certaines séries de perturbations divergent pour tout paramètre non nul.