Développer par une équation différentielle

$f$ vérifie le problème de Cauchy linéaire : $$(1+x)y^{\prime }=\alpha y,y(0)=1.$$ Analyse : cherchons une solution somme de série entière $y=\sum a_n{x}^n$ de rayon $>0$. La dérivation terme à terme et l'identification des coefficients (unicité !) donnent : $(1+x)\sum n{a}_n{x}^{n-1}=\alpha \sum a_n{x}^n$, soit pour tout $n$ : $$(n+1)a_{n+1}+n{a}_n=\alpha a_n⟹a_{n+1}=\frac{\alpha -n}{n+1}{a}_n,$$ d'où, avec $a_0=1$ : $a_n=\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}$. Rayon : $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\frac{|\alpha -n|}{n+1}\to 1$, donc $R=1$ (pour $\alpha \notin \mathbb{N}$ ; sinon polynôme).

Synthèse : la somme $g$ de cette série vérifie la même équation différentielle linéaire avec la même condition initiale que $f$ ; par unicité du problème de Cauchy (première année), $f=g$ sur $]-1,1[$ : $$(1+x{)}^{\alpha }=1+\sum _{n\ge 1}\frac{\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}{x}^n.$$ (La méthode exigée par le programme, dans toute sa généralité : équation différentielle $+$ identification $+$ unicité de Cauchy.)