Développer une intégrale : la période du pendule simple

La stratégie. L'intégrale ne se calcule pas avec les fonctions usuelles — c'est une intégrale elliptique. Mais son intégrande se développe en série entière du paramètre $k^2{\sin }^2\phi$ ; la convergence étant normale sur le segment d'intégration, on intègre terme à terme, et chaque terme est une intégrale de Wallis. Une intégrale qu'on ne sait pas calculer devient une série qu'on sait sommer numériquement et estimer.

Notons $c_n=\frac{1}{4^n}\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n}\right)$ (le coefficient binomial se lit « n parmi 2n »).

1) Le développement. Le développement de $(1+x{)}^{\alpha }$, avec $\alpha =-\frac{1}{2}$ et $x=-u$, donne pour $|u|<1$ le coefficient $$\frac{\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)\cdots \left(-\frac{2n-1}{2}\right)}{n!}(-1{)}^n=\frac{1\cdot 3\cdots (2n-1)}{2^{n}n!}.$$ Or $1\cdot 3\cdots (2n-1)=\frac{(2n)!}{2^{n}n!}$, donc ce coefficient vaut $\frac{(2n)!}{4^n(n!{)}^2}=c_n$ : $$\frac{1}{\sqrt{1-u}}=\sum _{n\ge 0}{c}_n{u}^n(|u|<1).$$ Premiers termes : $c_0=1$, $c_1=\frac{1}{2}$, $c_2=\frac{3}{8}$, $c_3=\frac{5}{16}$.

2) L'intégration terme à terme. Fixons $k\in [0,1[$. Pour $\phi \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, $u=k^2{\sin }^2\phi$ appartient à $[0,k^2]$, avec $k^2<1$ : $$\frac{1}{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}=\sum _{n\ge 0}{c}_n{k}^{2n}{\sin }^{2n}\phi .$$ La justification. Les termes sont des fonctions continues de $\phi$, et $|c_n{k}^{2n}{\sin }^{2n}\phi |\le c_n{k}^{2n}$, majorant indépendant de $\phi$, dont la série converge (c'est la série précédente en $u=k^2<1$, à termes positifs). La convergence est normale sur le segment $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$, donc uniforme : le théorème d'intégration terme à terme sur un segment s'applique, et, avec l'intégrale de Wallis, $${\int }_0^{\pi /2}\frac{\mathrm{d}\phi }{\sqrt{1-k^2{\sin }^2\phi }}=\sum _{n\ge 0}{c}_n{k}^{2n}\cdot \frac{\pi }{2}{c}_n=\frac{\pi }{2}\sum _{n\ge 0}{c}_n^2{k}^{2n}.$$ Comme $4\sqrt{\ell /g}\cdot \frac{\pi }{2}=2\pi \sqrt{\ell /g}=T_0$, on obtient $T=T_0{\sum }_{n\ge 0}{c}_n^2{k}^{2n}$.

Le rayon. En $u=k^2$, le quotient $\frac{c_{n+1}^2}{c_n^2}={\left(\frac{2n+1}{2n+2}\right)}^2$ tend vers $1$ : la série en $u$ a pour rayon $1$, donc la série en $k$ aussi. Le rayon vaut $1$ — ce qui correspond à ${\theta }_0=\pi$, le pendule lâché à la verticale haute.

3) La formule de Borda. La somme ${\sum }_{n\ge 2}{c}_n^2{k}^{2n-4}$ est une série entière en $k$ de rayon $1$ : elle est continue en $0$, donc bornée au voisinage de $0$. Ainsi $$\frac{T}{T_0}=1+\frac{k^2}{4}+k^4\sum _{n\ge 2}{c}_n^2{k}^{2n-4}=1+\frac{k^2}{4}+O(k^4).$$ Or $k=\sin \frac{{\theta }_0}{2}=\frac{{\theta }_0}{2}+O({\theta }_0^3)$, donc $k^2=\frac{{\theta }_0^2}{4}+O({\theta }_0^4)$ et $k^4=O({\theta }_0^4)$. D'où $$T=T_0\left(1+\frac{{\theta }_0^2}{16}+O({\theta }_0^4)\right).$$ La période augmente avec l'amplitude : le pendule n'est isochrone qu'à l'ordre $0$. C'est l'anisochronisme des oscillations, que la formule de Borda corrige au premier ordre.

4) La période infinie. Ce que le programme dit du bord. L'étude des propriétés de la somme au bord de l'intervalle de convergence n'est pas un objectif du programme PC : on n'invoque ici aucun théorème sur le bord, seulement une minoration par une somme partielle, à $k<1$ fixé.

La divergence de la série au bord. Par le rappel, $c_n^2\sim \frac{1}{\pi n}$ : par comparaison de séries à termes positifs avec la série harmonique, $\sum c_n^2$ diverge.

La minoration. Soit $A>0$. Il existe un rang $N$ tel que ${\sum }_{n=0}^N{c}_n^2>2A$. Pour $k\in [0,1[$, tous les termes étant positifs, $$\frac{T}{T_0}\ge \sum _{n=0}^N{c}_n^2{k}^{2n},$$ et ce polynôme en $k$ tend vers ${\sum }_{n=0}^N{c}_n^2>2A$ quand $k\to 1^{-}$ : il dépasse $A$ pour $k$ assez proche de $1$. Donc $\frac{T}{T_0}\to +\infty$ quand $k\to 1^{-}$, c'est-à-dire quand ${\theta }_0\to \pi$, puisque $k=\sin \frac{{\theta }_0}{2}$ tend alors vers $1$.

L'interprétation. Lâché de plus en plus près de la verticale haute — une position d'équilibre instable —, le pendule met de plus en plus de temps à s'en éloigner, et sa période tend vers l'infini. À la limite, lâché exactement à la verticale, il y reste : la période est infinie.

Contrôle numérique. Par quadrature de l'intégrale : pour ${\theta }_0=30°$, $\frac{T}{T_0}=1,017409$, contre $1,017135$ par la formule de Borda ; pour ${\theta }_0=90°$, $\frac{T}{T_0}=1,180341$, contre $1,154$ seulement par Borda — la formule n'est qu'un premier ordre. Au-delà, $\frac{T}{T_0}$ vaut $1,762$ pour $150°$, $2,439$ pour $170°$ et $3,901$ pour $179°$ : la croissance est réelle, mais lente. Enfin $c_{1000}\sqrt{1000\pi }=0,99988$, en accord avec le rappel.

Ce que l'exercice installe. Développer sous l'intégrale : une intégrale à paramètre qu'on ne sait pas calculer devient une série entière du paramètre, par intégration terme à terme sur un segment, justifiée par la convergence normale. C'est l'outil de toutes les corrections de physique au-delà de l'approximation linéaire : ici l'anisochronisme du pendule, qu'on mesure dès que l'amplitude dépasse quelques degrés.