mathématiques (PC) · Chapitre 8 · Exercice de TD

La méthode de l'équation différentielle : $arcsin^{2}$ , et une série de somme $\frac{π ^{2}}{18}$

Séries Entières · C. Développements en série entière · niveau 3 (difficile)

Énoncé

1) Montrer que $g (x) = \frac{a r c s i n x}{1 - x ^{2}}$ est l'unique solution sur $] - 1, 1 [$ de l'équation $(1 - x^{2}) y^{'} - x y = 1$ vérifiant $y (0) = 0$ .

2) Chercher une solution $\sum a_{n} x^{n}$ de rayon non nul : établir $a_{0} = 0$ , $a_{1} = 1$ et $(n + 1) a_{n + 1} = n a_{n - 1}$ pour $n \geq 1$ ; en déduire $a_{2 n} = 0$ et $a_{2 n + 1} = \frac{4 ^{n} ( n ! ) ^{2}}{( 2 n + 1 )!}$ , puis le rayon. Conclure que $g$ est développable en série entière sur $] - 1, 1 [$ .

3) En déduire que, pour $∣ x ∣ < 1$ , $arcsin^{2} x = \frac{1}{2} n \geq 1 \sum \frac{( 2 x ) ^{2 n}}{n ^{2} ( n 2 n )} .$

4) En déduire $\sum_{n \geq 1} \frac{1}{n ^{2} ( n 2 n )} = \frac{π ^{2}}{18}$ .

Corrigé de la question 1

La stratégie. Les dérivées successives de $g$ sont inextricables : on ne développe pas par la formule de Taylor. On fait vérifier à $g$ une équation différentielle linéaire, on cherche une solution sous forme de série entière, on identifie les coefficients, et l'unicité du problème de Cauchy conclut que la série trouvée est bien $g$ . C'est la méthode que le programme demande de savoir mettre en œuvre.

1) L'équation. Sur $] - 1, 1 [$ , $g$ est dérivable et $g^{'} (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}} + \frac{x arcsin x}{( 1 - x ^{2} ) ^{3/2}},$ la dérivée de $arcsin$ étant $\frac{1}{1 - x ^{2}}$ et celle de $(1 - x^{2})^{- 1/2}$ étant $x (1 - x^{2})^{- 3/2}$ . En multipliant par $1 - x^{2}$ : $(1 - x^{2}) g^{'} (x) = 1 + x g (x)$ . Et $g (0) = 0$ . Unicité : sur $] - 1, 1 [$ , l'équation s'écrit $y^{'} - \frac{x}{1 - x ^{2}} y = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ , équation linéaire du premier ordre à coefficients continus ; par le cours de première année, elle a une unique solution nulle en $0$ .

Question 2 : comment l'IA t'aide

Élève

J'ai obtenu $(n + 1) a_{n + 1} = n a_{n - 1}$ et les $a_{2 n}$ sont nuls. Pour le rayon, je voulais appliquer d'Alembert au quotient $\frac{a _{n + 1}}{a _{n}}$ , mais un coefficient sur deux est nul.

En effet, ce quotient n'a pas de sens ici. Quelles autres façons de déterminer le rayon connais-tu qui n'obligent pas à diviser par un coefficient nul ?

Élève

Je peux écrire la série comme $x \sum a_{2 n + 1} (x^{2})^{n}$ et chercher le rayon de $\sum a_{2 n + 1} u^{n}$ : le quotient $\frac{a _{2 n + 3}}{a _{2 n + 1}}$ se lit directement sur la récurrence.

Bien. Mais la série a été construite en supposant qu'une solution développable existe : une fois son rayon connu, qu'est-ce qui garantit, sans raisonnement circulaire, que sa somme est bien $g$ sur $] - 1, 1 [$ ?

L'IA ne donne pas la réponse : elle pose la question qui fait avancer. À toi de continuer.

Continue cet exercice avec l'IA

Reprends la question 2 là où le dialogue s'arrête, puis la suite de l'exercice.

Continuer avec l'IA — gratuit, sans inscription

Gratuit, sans inscription. L'IA te guide pas à pas, sans te donner la réponse.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Continuer avec l'IA, gratuit →

La méthode de l'équation différentielle : arcsin2, et une série de somme 18π2​

Énoncé

Corrigé de la question 1

Question 2 : comment l'IA t'aide

La méthode de l'équation différentielle : $arcsin^{2}$ , et une série de somme $\frac{π ^{2}}{18}$