La méthode de l'équation différentielle : ${\arcsin }^2$, et une série de somme $\frac{{\pi }^2}{18}$

La stratégie. Les dérivées successives de $g$ sont inextricables : on ne développe pas par la formule de Taylor. On fait vérifier à $g$ une équation différentielle linéaire, on cherche une solution sous forme de série entière, on identifie les coefficients, et l'unicité du problème de Cauchy conclut que la série trouvée est bien $g$. C'est la méthode que le programme demande de savoir mettre en œuvre.

1) L'équation. Sur $]-1,1[$, $g$ est dérivable et $$g^{\prime }(x)=\frac{1}{1-x^2}+\frac{x\arcsin x}{(1-x^2{)}^{3/2}},$$ la dérivée de $\arcsin$ étant $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ et celle de $(1-x^2{)}^{-1/2}$ étant $x(1-x^2{)}^{-3/2}$. En multipliant par $1-x^2$ : $(1-x^2)g^{\prime }(x)=1+xg(x)$. Et $g(0)=0$. Unicité : sur $]-1,1[$, l'équation s'écrit $y^{\prime }-\frac{x}{1-x^2}y=\frac{1}{1-x^2}$, équation linéaire du premier ordre à coefficients continus ; par le cours de première année, elle a une unique solution nulle en $0$.

2) La série. Soit $y=\sum a_n{x}^n$ de rayon $\rho >0$. Pour $|x|<\rho$, en dérivant terme à terme et en réindexant, $$(1-x^2)y^{\prime }-xy=a_1+\sum _{n\ge 1}((n+1)a_{n+1}-(n-1)a_{n-1}-a_{n-1})x^n.$$ Par unicité des coefficients, cette somme vaut la constante $1$ si et seulement si $a_1=1$ et $(n+1)a_{n+1}=n{a}_{n-1}$ pour tout $n\ge 1$. La condition $y(0)=0$ impose $a_0=0$.

Les coefficients. La relation lie $a_{n+1}$ à $a_{n-1}$ : les indices pairs et impairs se propagent séparément. De $a_0=0$ vient $a_{2n}=0$ pour tout $n$. Pour les impairs, $a_{2n+1}=\frac{2n}{2n+1}{a}_{2n-1}$, d'où $$a_{2n+1}=\prod _{k=1}^n\frac{2k}{2k+1}=\frac{2^{n}n!}{3\cdot 5\cdots (2n+1)}=\frac{2^{n}n!\cdot 2^{n}n!}{(2n+1)!}=\frac{4^n(n!{)}^2}{(2n+1)!}.$$ Le rayon. La série est lacunaire : on la lit en $u=x^2$. Comme $\frac{a_{2n+3}}{a_{2n+1}}=\frac{2n+2}{2n+3}\to 1$, la série $\sum a_{2n+1}{u}^n$ a pour rayon $1$ ; donc $\sum a_{2n+1}{x}^{2n+1}=x\sum a_{2n+1}(x^2{)}^n$ converge pour $x^2<1$ et diverge grossièrement pour $x^2>1$. Le rayon vaut $1$.

La synthèse. La somme $S$ de cette série est définie sur $]-1,1[$ ; le calcul ci-dessus, lu dans l'autre sens, montre que $(1-x^2)S^{\prime }-xS=1$ et $S(0)=0$. Par l'unicité de la question 1, $S=g$ : $g$ est développable sur $]-1,1[$.

3) Le carré de l'arcsinus. La dérivée de ${\arcsin }^2$ est $\frac{2\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}=2g(x)={\sum }_{n\ge 0}2a_{2n+1}{x}^{2n+1}$. On primitive terme à terme sur $]-1,1[$, sans changement de rayon, avec ${\arcsin }^{2}0=0$ : $${\arcsin }^{2}x=\sum _{n\ge 0}\frac{a_{2n+1}}{n+1}{x}^{2n+2}=\sum _{m\ge 1}\frac{a_{2m-1}}{m}{x}^{2m}.$$ Avec $(2m-1)!=\frac{(2m)!}{2m}$ et $((m-1)!{)}^2=\frac{(m!{)}^2}{m^2}$, le coefficient vaut $$\frac{a_{2m-1}}{m}=\frac{4^{m-1}(m!{)}^2\cdot 2m}{m^2(2m)!\cdot m}=\frac{4^m}{2m^2}\cdot \frac{(m!{)}^2}{(2m)!}=\frac{4^m}{2m^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m}\right)}.$$ D'où, pour $|x|<1$, ${\arcsin }^{2}x=\frac{1}{2}{\sum }_{m\ge 1}\frac{(2x{)}^{2m}}{m^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m}\right)}$.

4) La série numérique. Le point $x=\frac{1}{2}$ est à l'intérieur de l'intervalle de convergence : aucune question de bord. Comme $\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}$, $$\frac{{\pi }^2}{36}=\frac{1}{2}\sum _{m\ge 1}\frac{1}{m^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m}\right)},\text{donc}\sum _{m\ge 1}\frac{1}{m^2\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{2m}{m}\right)}=\frac{{\pi }^2}{18}.$$

Contrôle numérique. $g(0,9)=2,568927$, et la série donne la même valeur. Les cinq premiers termes de la série numérique, $\frac{1}{2}+\frac{1}{24}+\frac{1}{180}+\frac{1}{1120}+\frac{1}{6300}$, donnent $0,5482738$, pour $\frac{{\pi }^2}{18}=0,5483114$ : la convergence est rapide, les termes décroissant comme $\frac{1}{4^m}$ à un facteur polynomial près.

Ce que l'exercice installe. La méthode de l'équation différentielle, en trois temps qu'on ne fond jamais : analyse (identification des coefficients), rayon, synthèse (unicité du problème de Cauchy). Elle développe des fonctions dont les dérivées sont inaccessibles, et une primitivation terme à terme en tire d'autres développements — et des sommes remarquables.