Le complexe au service du réel : Fabry–Pérot et intégrale de Poisson

La stratégie. Les deux séries complexes du programme — la géométrique sur le disque unité ouvert, l'exponentielle sur $\mathbb{C}$ — calculent des sommes réelles : on passe par $\mathbb{C}$, on somme, on redescend par la partie réelle ou le module. Le passage à la partie réelle est licite parce que $\mathrm{Re}$ est linéaire et continue ($|\mathrm{Re}z-\mathrm{Re}{z}^{\prime }|\le |z-z^{\prime }|$) : elle commute avec la limite des sommes partielles.

1) Une exponentielle complexe. Pour $x$ réel, ${\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})x}={\mathrm{e}}^x(\cos x+\mathrm{i}\sin x)$, donc ${\mathrm{e}}^x\cos x=\mathrm{Re}{\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})x}$. La série exponentielle complexe donne ${\mathrm{e}}^{(1+\mathrm{i})x}={\sum }_{n\ge 0}\frac{(1+\mathrm{i}{)}^n}{n!}{x}^n$ pour tout réel $x$, et $(1+\mathrm{i}{)}^n=2^{n/2}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\pi /4}$. En prenant la partie réelle terme à terme : $${\mathrm{e}}^x\cos x=\sum _{n\ge 0}\frac{2^{n/2}\cos (n\pi /4)}{n!}{x}^n.$$ Le rayon est infini : les coefficients sont majorés en module par $\frac{2^{n/2}}{n!}$, et $\sum \frac{(\sqrt{2}|x|{)}^n}{n!}$ converge pour tout $x$. Les premiers coefficients valent $1$, $1$, $0$, $-\frac{1}{3}$, $-\frac{1}{6}$, $-\frac{1}{30}$ ; le développement limité direct $(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6})(1-\frac{x^2}{2})$ redonne bien $1+x-\frac{x^3}{3}$ à l'ordre $3$.

2) La série géométrique complexe. Le complexe $r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }$ est de module $r<1$, donc $$\sum _{n\ge 0}{r}^n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\phi }=\frac{1}{1-r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }}=\frac{1-r{\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\phi }}{{\left|1-r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }\right|}^2},$$ avec ${\left|1-r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }\right|}^2=(1-r\cos \phi {)}^2+r^2{\sin }^2\phi =1-2r\cos \phi +r^2$. En séparant parties réelle et imaginaire : $$\sum _{n\ge 0}{r}^n\cos (n\phi )=\frac{1-r\cos \phi }{1-2r\cos \phi +r^2},$$ $$\sum _{n\ge 0}{r}^n\sin (n\phi )=\frac{r\sin \phi }{1-2r\cos \phi +r^2}.$$ Le calcul n'a utilisé que $\left|r{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }\right|<1$ : il vaut pour tout $r\in ]-1,1[$, ce qui servira à la question 4.

3) La fonction d'Airy du Fabry–Pérot. Par la question 2, ${\sum }_{n\ge 0}{R}^n{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\phi }=\frac{1}{1-R{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\phi }}$, dont le carré du module vaut $\frac{1}{1-2R\cos \phi +R^2}$. Or $1-2R\cos \phi +R^2=(1-R{)}^2+2R(1-\cos \phi )=(1-R{)}^2+4R{\sin }^2\frac{\phi }{2}$ : c'est la formule annoncée.

Les maxima. Le dénominateur est minimal quand $\sin \frac{\phi }{2}=0$, c'est-à-dire $\phi \in 2\pi \mathbb{Z}$ : toutes les ondes sont alors en phase, et l'intensité vaut $\frac{1}{(1-R{)}^2}$. Les minima, en $\phi \in \pi +2\pi \mathbb{Z}$, valent $\frac{1}{(1+R{)}^2}$.

Quand $R\to 1$. Les maxima tendent vers l'infini, et les pics s'affinent : l'intensité tombe à la moitié de son maximum quand $4R{\sin }^2\frac{\phi }{2}=(1-R{)}^2$, soit pour $|\phi |$ voisin de $\frac{1-R}{\sqrt{R}}$ ; la largeur totale à mi-hauteur vaut donc environ $\frac{2(1-R)}{\sqrt{R}}$, qui tend vers $0$. Le rapport de l'écart $2\pi$ entre deux pics à cette largeur est la finesse, $\frac{\pi \sqrt{R}}{1-R}$.

Comparaison avec $N$ ondes de même amplitude. La somme géométrique finie donne ${\left|{\sum }_{n=0}^{N-1}{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}n\phi }\right|}^2=\frac{{\sin }^2(N\phi /2)}{{\sin }^2(\phi /2)}$ : des maxima principaux de hauteur $N^2$ en $\phi \in 2\pi \mathbb{Z}$, de largeur de l'ordre de $\frac{2\pi }{N}$, séparés par des maxima secondaires. Le Fabry–Pérot se comporte comme un réseau d'un nombre effectif d'ondes de l'ordre de $\frac{1}{1-R}$, mais sans maxima secondaires : c'est le cas infini des $N$ ondes, avec des amplitudes décroissantes.

4) Un logarithme développé par sa dérivée. Fixons $\theta$. Pour $|x|<1$, $1-2x\cos \theta +x^2={\left|1-x{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right|}^2>0$, puisque $\left|x{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\theta }\right|<1$ : la fonction $L(x)=\ln (1-2x\cos \theta +x^2)$ est définie et dérivable sur $]-1,1[$, et, en notant $D=1-2x\cos \theta +x^2$, $$L^{\prime }(x)=\frac{2(x-\cos \theta )}{D}.$$ La série ${\sum }_{n\ge 1}\cos (n\theta )x^{n-1}$ a des coefficients bornés, donc un rayon au moins égal à $1$. Pour $x\ne 0$, la question 2, valable sur $]-1,1[$, donne $$\sum _{n\ge 1}\cos (n\theta )x^{n-1}=\frac{1}{x}\left(\frac{1-x\cos \theta }{D}-1\right)=\frac{\cos \theta -x}{D},$$ égalité encore vraie en $x=0$, où les deux membres valent $\cos \theta$. Donc $L^{\prime }(x)=-2{\sum }_{n\ge 1}\cos (n\theta )x^{n-1}$ sur $]-1,1[$. On primitive terme à terme, sans changement de rayon, avec $L(0)=\ln 1=0$ : $$\ln (1-2x\cos \theta +x^2)=-2\sum _{n\ge 1}\frac{\cos (n\theta )}{n}{x}^n.$$

5) L'intégrale de Poisson. Fixons $x\in ]-1,1[$ et regardons la série de la question 4 comme une série de fonctions de $\theta$ sur le segment $[0,\pi ]$ : $\left|\frac{\cos (n\theta )}{n}{x}^n\right|\le \frac{|x{|}^n}{n}$, majorant indépendant de $\theta$ et de série convergente. La convergence est normale, les termes sont continus : on intègre terme à terme sur $[0,\pi ]$. Or, pour $n\ge 1$, ${\int }_0^{\pi }\cos (n\theta )\mathrm{d}\theta ={\left[\frac{\sin (n\theta )}{n}\right]}_0^{\pi }=0$. Donc $${\int }_0^{\pi }\ln \left(1-2x\cos \theta +x^2\right)\mathrm{d}\theta =0.$$ Pour $|x|>1$, en factorisant $x^2$, on se ramène au cas précédent en $\frac{1}{x}$, et l'intégrale vaut $2\pi \ln |x|$.

Contrôle numérique. Pour $R=0,9$ et $\phi =0,3$, la formule donne $11,06264$, et la somme directe de trois mille ondes la même valeur ; les maxima valent $100$ et les minima $0,277$ ; la largeur à mi-hauteur vaut $0,2109$ et la finesse $29,8$. L'intégrale de Poisson, calculée par quadrature en $x=0,5$, est nulle à la précision de la machine, et vaut $4,35517=2\pi \ln 2$ en $x=2$.

Ce que l'exercice installe. Passer par $\mathbb{C}$ pour calculer dans $\mathbb{R}$ : les séries géométrique et exponentielle complexes somment des séries trigonométriques, et la partie réelle, linéaire et continue, les ramène au réel. En physique, c'est le calcul même des interférences à ondes multiples. Et l'intégrale de Poisson a un sens d'électrostatique plane : $\ln (1-2x\cos \theta +x^2)$ est le double du logarithme de la distance du point $x$ au point du cercle unité d'angle $\theta$. La moyenne de ce logarithme de la distance sur le cercle est donc nulle quand $x$ est à l'intérieur, et vaut $\ln |x|$ quand il est à l'extérieur — un cercle uniformément chargé crée un potentiel constant à l'intérieur, et, à l'extérieur, celui de sa charge placée au centre : c'est le théorème de Gauss dans le plan.