Le rayon d'une fraction rationnelle est la distance au pôle le plus proche

La stratégie. Une fraction rationnelle se décompose en éléments simples ; chaque élément simple $\frac{\lambda }{z-z_i}$ est une série géométrique, de rayon $|z_i|$. Le rayon de la somme est donc au moins le plus petit de ces modules ; il ne peut pas être plus grand, parce que la somme d'une série entière est continue sur son disque ouvert, alors qu'une fraction rationnelle explose en ses pôles.

1) Deux pôles réels. La décomposition en éléments simples donne $\frac{1}{(1-x)(1-2x)}=\frac{2}{1-2x}-\frac{1}{1-x}$ (vérification en $x=0$ : $2-1=1$). Pour $|x|<\frac{1}{2}$, les deux séries géométriques convergent et $$\frac{1}{(1-x)(1-2x)}=\sum _{n\ge 0}\left(2^{n+1}-1\right)x^n.$$ Les rayons $\frac{1}{2}$ et $1$ sont distincts : le rayon de la somme est leur minimum, $\frac{1}{2}$ — la distance de $0$ au pôle le plus proche.

2) Un rayon fini pour une fonction sans défaut sur $\mathbb{R}$. Pour $x\ne 1$, $(1-x)(1+x+x^2)=1-x^3$, donc, pour $|x|<1$, $$\frac{1}{1+x+x^2}=\frac{1-x}{1-x^3}=(1-x)\sum _{k\ge 0}{x}^{3k}=\sum _{k\ge 0}{x}^{3k}-\sum _{k\ge 0}{x}^{3k+1}.$$ Les coefficients valent $1$, $-1$, $0$ selon que l'indice est de la forme $3k$, $3k+1$ ou $3k+2$ : bornés et ne tendant pas vers $0$, ils donnent un rayon égal à $1$. Pourtant $1+x+x^2={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ge \frac{3}{4}$ : la fonction est de classe ${\mathcal{C}}^{\infty }$ sur $\mathbb{R}$ entier. L'explication est dans le plan complexe : les racines de $1+z+z^2$ sont $j={\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}\pi /3}=-\frac{1}{2}+\mathrm{i}\frac{\sqrt{3}}{2}$ et son conjugué, de module $1$.

3) Le logarithme, de deux façons. Première façon. Pour $|x|<1$, $1+x+x^2=\frac{1-x^3}{1-x}$, et les deux facteurs sont strictement positifs, donc $\ln (1+x+x^2)=\ln (1-x^3)-\ln (1-x)$. Avec $-\ln (1-u)={\sum }_{n\ge 1}\frac{u^n}{n}$ : $$\ln (1+x+x^2)=\sum _{n\ge 1}\frac{x^n}{n}-\sum _{k\ge 1}\frac{x^{3k}}{k}.$$ Le coefficient de $x^n$ vaut $\frac{1}{n}$ si $3$ ne divise pas $n$, et $\frac{1}{3k}-\frac{1}{k}=-\frac{2}{n}$ si $n=3k$.

Seconde façon. La dérivée vaut $\frac{1+2x}{1+x+x^2}=\frac{(1+2x)(1-x)}{1-x^3}=(1+x-2x^2){\sum }_{k\ge 0}{x}^{3k}$, dont les coefficients valent $1$, $1$, $-2$ selon le reste de l'indice modulo $3$. En primitivant terme à terme, avec $\ln 1=0$, le coefficient de $x^{n+1}$ est celui de $x^n$ divisé par $n+1$ : on retrouve $\frac{1}{n+1}$, $\frac{1}{n+1}$ ou $-\frac{2}{n+1}$, les mêmes coefficients. Le rayon : celui de la dérivée, dont les coefficients sont bornés sans tendre vers $0$, vaut $1$, et la primitivation ne le change pas. Rayon $1$ — la dérivée est une fraction rationnelle de pôles $j$ et $\bar{ȷ}$.

4) Le théorème. La minoration. La décomposition en éléments simples sur $\mathbb{C}$, à pôles simples, s'écrit $F=E+{\sum }_{i=1}^r\frac{{\lambda }_i}{X-z_i}$, où $E$ est un polynôme, $z_1,\dots ,z_r$ les racines de $Q$, toutes non nulles, et ${\lambda }_i\ne 0$ puisque $z_i$ n'est pas racine de $P$. Pour $|z|<|z_i|$, par la série géométrique complexe, $$\frac{{\lambda }_i}{z-z_i}=-\frac{{\lambda }_i}{z_i}\cdot \frac{1}{1-z/z_i}=-\sum _{n\ge 0}\frac{{\lambda }_i}{z_i^{n+1}}{z}^n,$$ série de rayon $|z_i|\ge \rho$. La somme finie de ces séries et du polynôme $E$ est une série entière de rayon au moins $\rho$, dont la somme vaut $F(z)$ pour $|z|<\rho$.

L'égalité. Supposons ce rayon $R^{\prime }$ strictement supérieur à $\rho$, et soit $z_0$ une racine de $Q$ de module $\rho$. La somme $S$ de la série est continue sur le disque ouvert de rayon $R^{\prime }$, qui contient $z_0$. Pour $t\in [0,1[$, le point $t{z}_0$ est de module $t\rho <\rho$, donc $S(t{z}_0)=F(t{z}_0)$. Quand $t\to 1^{-}$, $S(t{z}_0)\to S(z_0)$, nombre fini ; mais $Q(t{z}_0)\to 0$ et $P(t{z}_0)\to P(z_0)\ne 0$, donc $|F(t{z}_0)|\to +\infty$. Contradiction. Le rayon vaut exactement $\rho$.

Relecture. Pour la question 1, les pôles sont $1$ et $\frac{1}{2}$ : $\rho =\frac{1}{2}$. Pour la question 2, les pôles sont $j$ et $\bar{ȷ}$ : $\rho =1$. Le rayon ne se lit pas sur l'axe réel, où ces deux dernières fonctions n'ont aucun défaut ; il se lit dans le plan complexe.

Contrôle numérique. En $x=\frac{1}{4}$, $\frac{1}{(1-x)(1-2x)}=\frac{8}{3}$, et treize termes de la série donnent $2,666178$, l'écart $4,88\cdot 10^{-4}$ étant celui du reste géométrique, $2^{-11}$. En $x=0,4$, $\ln (1,56)=0,4446858$, valeur que redonne la série de la question 3.

Ce que l'exercice installe. Le rayon d'une série entière réelle se lit sur la singularité la plus proche dans $\mathbb{C}$ : pour une fraction rationnelle, c'est exactement la distance au pôle le plus proche. Deux outils de la variable complexe y suffisent : la série géométrique et la continuité de la somme sur le disque ouvert. En physique, c'est ce qui borne le domaine de validité d'un développement : une approximation en série cesse de converger à la distance de la première singularité, même invisible sur l'axe réel.