Le rayon ne voit que l'ordre de grandeur

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition : le rayon est $R=\sup E$, où $E$ est l'ensemble des réels $r\ge 0$ tels que la suite $(a_n{r}^n)$ soit bornée ; le lemme d'Abel, qui donne la convergence absolue pour $|z|<R$ et la divergence grossière pour $|z|>R$. Une remarque servira partout : $E$ est un intervalle contenant $0$, car si $(a_n{r}^n)$ est bornée et $0\le r^{\prime }\le r$, alors $|a_n{r}^{\prime n}|\le |a_n{r}^n|$. En particulier, tout $r\in [0,R[$ appartient à $E$.

La stratégie. Quand les coefficients sont quelconques ou irréguliers, la règle de d'Alembert ne sert à rien : on revient à la définition, avec un geste qui revient dans tout le chapitre — glisser un $r$ strictement entre $|z|$ et $R$.

1) Les facteurs polynomiaux sont invisibles, la factorielle ne l'est pas. Notons $b_n=n^{\alpha }{a}_n$ pour $n\ge 1$, et $R_b$ le rayon de $\sum b_n{z}^n$.

$R_b\ge R$. Si $R=0$, il n'y a rien à montrer. Sinon, soit $z$ tel que $|z|<R$, et $r$ tel que $|z|<r<R$. Alors $r\in E$ : il existe $M$ tel que $|a_n{r}^n|\le M$ pour tout $n$. En posant $q=\frac{|z|}{r}\in [0,1[$, $$|b_n{z}^n|=n^{\alpha }|a_n{r}^n|q^n\le M{n}^{\alpha }{q}^n,$$ qui tend vers $0$ par croissances comparées, une géométrique de raison $q<1$ l'emportant sur toute puissance de $n$. La suite $(b_n{z}^n)$ est bornée, donc $|z|\le R_b$. Ceci valant pour tout $|z|<R$, on obtient $R\le R_b$.

$R\ge R_b$. On a $a_n=n^{-\alpha }{b}_n$ : le même raisonnement, avec l'exposant $-\alpha$ et les rôles échangés, donne $R_b\le R$. Donc $R_b=R$.

La factorielle. Supposons $R>0$ et soit $r\in ]0,R[$, de sorte que $|a_n{r}^n|\le M$. Pour tout complexe $z$, $$\left|\frac{a_n}{n!}{z}^n\right|\le \frac{M}{n!}{\left(\frac{|z|}{r}\right)}^n,$$ terme général de la série exponentielle, convergente. La série converge absolument en tout $z$ : son rayon est infini.

2) Le module, et le carré. Les suites $(|a_n|r^n)$ et $(a_n{r}^n)$ ont le même module : elles sont bornées pour les mêmes $r$, et les deux rayons coïncident. Pour les carrés, $|a_n^2{r}^n|={\left(|a_n|(\sqrt{r}{)}^n\right)}^2$ : la suite $(a_n^2{r}^n)$ est bornée si et seulement si $(a_n(\sqrt{r}{)}^n)$ l'est, c'est-à-dire si et seulement si $\sqrt{r}\in E$. L'ensemble associé à $\sum a_n^2{z}^n$ est donc l'image de $E$ par $s\mapsto s^2$, bijection croissante de $[0,+\infty [$ sur lui-même : sa borne supérieure est $R^2$ (avec la convention $R^2=+\infty$ si $R=+\infty$).

3) Trois séries où d'Alembert se tait.

La première. Le coefficient vaut $a_n=3^n$ pour $n$ pair et $a_n=1$ pour $n$ impair. La suite $(a_n{r}^n)$ est bornée si et seulement si $(3r{)}^{2k}$ et $r^{2k+1}$ le sont, c'est-à-dire si et seulement si $3r\le 1$ (et alors $r<1$). Donc $E=\left[0,\frac{1}{3}\right]$ et $R=\frac{1}{3}$. La règle de d'Alembert est inutilisable : le quotient $\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$ vaut $3^{n+1}$ pour $n$ impair et $3^{-n}$ pour $n$ pair ; il n'a pas de limite.

La deuxième. On a $|\sin n|\le 1$, donc $\sin n=O(1)$ et, par comparaison avec $\sum z^n$, $R\ge 1$. D'autre part, $\sin n$ ne tend pas vers $0$ : sinon, la formule $\sin (n+1)=\sin n\cos 1+\cos n\sin 1$ donnerait $\cos n\to 0$ (puisque $\sin 1\ne 0$), ce qui contredit ${\sin }^{2}n+{\cos }^{2}n=1$. La série diverge donc grossièrement en $z=1$, et $R\le 1$. Donc $R=1$.

Pourquoi d'Alembert est inutilisable ici. Supposons que $\left|\frac{\sin (n+1)}{\sin n}\right|$ ait une limite $\ell$ (les $\sin n$ sont non nuls pour $n\ge 1$, $\pi$ étant irrationnel). Si $\ell <1$, $|\sin n|$ tendrait vers $0$ à vitesse géométrique ; si $\ell >1$, $|\sin n|$ tendrait vers $+\infty$ : les deux sont exclus. Reste $\ell =1$. Or $\sin (n+1)+\sin (n-1)=2\cos 1\sin n$ donne, en posant ${\rho }_n=\frac{\sin (n+1)}{\sin n}$, $${\rho }_n+\frac{1}{{\rho }_{n-1}}=2\cos 1.$$ Les deux nombres réels ${\rho }_n$ et $\frac{1}{{\rho }_{n-1}}$ auraient une valeur absolue tendant vers $1$ : leur somme s'approcherait de $-2$, $0$ ou $2$, alors qu'elle vaut constamment $2\cos 1\approx 1,08$. Contradiction : le quotient n'a pas de limite, et la règle ne peut rien dire.

La troisième. Le coefficient d'indice $k$ vaut $1$ si $k$ est une factorielle ($k=1,2,6,24,\dots$) et $0$ sinon. Pour $r\le 1$, la suite est bornée par $1$ ; pour $r>1$, sa sous-suite $r^{n!}$ tend vers $+\infty$. Donc $R=1$. La règle de d'Alembert est inutilisable : une infinité de coefficients sont nuls, le quotient n'est même pas défini — c'est une série lacunaire.

4) Le produit terme à terme. Soient $s\in [0,R_a[$ et $t\in [0,R_b[$ : les suites $(a_n{s}^n)$ et $(b_n{t}^n)$ sont bornées, donc leur produit $(a_n{b}_n(st{)}^n)$ aussi, et $st$ est inférieur ou égal au rayon de $\sum a_n{b}_n{z}^n$. En faisant tendre $s$ vers $R_a$ et $t$ vers $R_b$, ce rayon est au moins $R_a{R}_b$. L'inégalité peut être stricte : avec $a_n=1$ pour $n$ pair et $0$ pour $n$ impair, et $b_n=1-a_n$, les deux rayons valent $1$ (coefficients bornés qui ne tendent pas vers $0$), tandis que $a_n{b}_n=0$ pour tout $n$ : le produit est la série nulle, de rayon infini.

Contrôle numérique. Pour $\sum n^{2026}{3}^{-n}{z}^n$, l'inverse du quotient de d'Alembert vaut $\frac{3}{(1+1/n{)}^{2026}}$ : $0,396$ pour $n=10^3$, $2,450$ pour $n=10^4$, $2,9939$ pour $n=10^6$. La limite est bien $3=R$ ; le facteur polynomial ne la change pas, il en retarde seulement la lecture. Et les premiers quotients $\frac{\sin (n+1)}{\sin n}$ valent $1,081$ ; $0,155$ ; $-5,363$ ; $1,267$ ; $0,291$ ; $-2,351$ : aucune convergence en vue.

Ce que l'exercice installe. Le rayon mesure l'échelle géométrique de croissance des coefficients : il ignore les facteurs polynomiaux, la factorielle l'envoie à l'infini, les carrés l'élèvent au carré. Quand d'Alembert se tait — coefficients oscillants, séries lacunaires —, on revient à la définition, en glissant un $r$ entre $|z|$ et $R$. C'est ce rayon qu'une fonction génératrice lit sur une suite : son taux de croissance exponentiel.